1) Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм $ABCD$ со сторонами $2\sqrt{3}$ и $2$ см, $\angle BCD = 150^\circ$. Диагональ $BD_1$ составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1) **Ответ: $16\sqrt{3} + 16$ $см^2$** **Решение:** 1. Найдём диагональ основания $BD$ по теореме косинусов для $\triangle BCD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$ $BD^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(150^\circ)$ $BD^2 = 12 + 4 - 8\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 16 + 12 = 28$ $BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см. 2. Так как призма прямая, $DD_1 \perp (ABC)$. Угол между диагональю $BD_1$ и плоскостью основания — это $\angle D_1BD = 45^\circ$. В прямоугольном $\triangle D_1BD$: $DD_1 = BD \cdot \text{tg}(45^\circ) = 2\sqrt{7} \cdot 1 = 2\sqrt{7}$ см (высота призмы $h$). 3. Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 2(2\sqrt{3} + 2) \cdot 2\sqrt{7} = (4\sqrt{3} + 4) \cdot 2\sqrt{7} = 8\sqrt{21} + 8\sqrt{7}$ $см^2$. **Допущение:** В условии часто встречаются опечатки в углах. Если рассматривать $\angle BCD = 150^\circ$ как угол параллелограмма, то тупой угол $150^\circ$ дает диагональ $2\sqrt{7}$. Если же имелся в виду угол $30^\circ$ между сторонами, расчеты изменятся. 2) **Ответ: а) $S_{полн} = 192$ $см^2$; б) $2$ см.** **Решение:** Пусть $SO$ — высота пирамиды ($SO = 4$ см), $SH$ — апофема (высота боковой грани), $OH$ — радиус вписанной в основание окружности ($OH \perp CD$). $\angle SHO = 30^\circ$ (двугранный угол при основании). а) В $\triangle SOH$ ($\angle O = 90^\circ$): $OH = SO \cdot \text{ctg}(30^\circ) = 4\sqrt{3}$ см. Сторона основания $a = 2 \cdot OH = 8\sqrt{3}$ см. $SH = \frac{SO}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{0,5} = 8$ см. $S_{осн} = a^2 = (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$ $см^2$. $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot SH = \frac{1}{2} (4 \cdot 8\sqrt{3}) \cdot 8 = 128\sqrt{3}$ $см^2$. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 192 + 128\sqrt{3}$ $см^2$. б) Расстояние от центра основания до боковой грани — это высота $OK$ в $\triangle SOH$, проведенная к гипотенузе $SH$: $OK = SO \cdot \sin(\angle SHO) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot 0,5 = 2$ см.