В треугольнике ABC AB > BC > AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.

На листе представлены два варианта заданий. Решу задания первого варианта. **Вариант 1** 1. В треугольнике сумма углов всегда $180^{\circ}$. Известны два угла: $120^{\circ}$ и $40^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - (120^{\circ} + 40^{\circ}) = 20^{\circ}$. По условию $AB > BC > AC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. $AB$ — самая большая сторона, значит противолежащий ей $\angle C = 120^{\circ}$. $BC$ — средняя сторона, значит противолежащий ей $\angle A = 40^{\circ}$. $AC$ — самая маленькая сторона, значит противолежащий ей $\angle B = 20^{\circ}$. **Ответ: $\angle A = 40^{\circ}, \angle B = 20^{\circ}, \angle C = 120^{\circ}$**. 2. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = 12x$. $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \Rightarrow 50^{\circ} + x + 12x = 180^{\circ}$. $13x = 130^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$ (это $\angle B$). $\angle C = 12 \cdot 10^{\circ} = 120^{\circ}$. **Ответ: $\angle B = 10^{\circ}, \angle C = 120^{\circ}$**. 3. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle B = 35^{\circ}$. Тогда $\angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 35^{\circ}) = 55^{\circ}$. $CD$ — высота, значит $\triangle ACD$ прямоугольный ($\angle ADC = 90^{\circ}$). В $\triangle ACD$: $\angle CAD = 55^{\circ}, \angle ADC = 90^{\circ}$. $\angle ACD = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 55^{\circ}) = 35^{\circ}$. **Ответ: $35^{\circ}, 55^{\circ}, 90^{\circ}$**. 4. Пусть одна сторона $x$ см, тогда другая $(x + 12)$ см. Случай 1: Боковые стороны $x$, основание $x + 12$. $x + x + (x + 12) = 45 \Rightarrow 3x = 33 \Rightarrow x = 11$. Стороны: 11 см, 11 см, 23 см. (Условие существования $11+11 < 23$ не выполняется, треугольник не существует). Случай 2: Боковые стороны $x + 12$, основание $x$. $(x + 12) + (x + 12) + x = 45 \Rightarrow 3x = 21 \Rightarrow x = 7$. Стороны: 19 см, 19 см, 7 см. **Ответ: 19 см, 19 см, 7 см**.