Вариант 2. В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

1. **Ответ: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$.** В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$. По условию один угол $90^{\circ}$ (самый большой, значит $\angle B = 90^{\circ}$), другой $30^{\circ}$ (самый маленький, значит $\angle C = 30^{\circ}$). Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. $\angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. 2. **Ответ: $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$.** Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. 3. **Ответ: $45^{\circ}, 20^{\circ}, 115^{\circ}$.** В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$ $\angle BCD = 45^{\circ}$ $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. 4. **Ответ: 21 см, 21 см, 8 см ИЛИ 12,3 см, 12,3 см, 25,3 см (не возм.).** Пусть $a$ — боковая сторона, $b$ — основание. Случай 1: Основание меньше боковой стороны на 13 см ($b = a - 13$). $a + a + (a - 13) = 50$ $3a = 63 \Rightarrow a = 21, b = 8$. (Треугольник существует: $21+8 > 21$). Случай 2: Боковая сторона меньше основания на 13 см ($a = b - 13$). $(b - 13) + (b - 13) + b = 50$ $3b - 26 = 50 \Rightarrow 3b = 76 \Rightarrow b = 25\frac{1}{3}, a = 12\frac{1}{3}$. Проверка: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} = 24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$. (Треугольник не существует по неравенству треугольника).