В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

1. В треугольнике сумма углов всегда равна $180^{\circ}$. Известно, что один угол $90^{\circ}$, второй $30^{\circ}$, значит, третий угол равен $180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. По условию $AB < BC < AC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей — меньший. Значит: против наименьшей стороны $AB$ лежит наименьший $\angle C = 30^{\circ}$; против средней стороны $BC$ лежит средний $\angle A = 60^{\circ}$; против наибольшей стороны $AC$ лежит наибольший $\angle B = 90^{\circ}$. Ответ: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. 2. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + x + 40^{\circ} = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. Ответ: $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$. 3. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. Так как $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, то в $\triangle BCD$: $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. Угол $\angle B$ общий для треугольников и равен $20^{\circ}$. Находим третий угол $\triangle BCD$: $\angle BDC = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 20^{\circ}) = 115^{\circ}$. Ответ: $45^{\circ}$, $20^{\circ}$, $115^{\circ}$. 4. Возможны два случая: 1) Основание меньше боковой стороны на $13$ см. Пусть боковая сторона $x$, тогда основание $x - 13$. Периметр: $x + x + (x - 13) = 50 \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21$. Стороны: $21$ см, $21$ см, $21 - 13 = 8$ см. (Треугольник существует: $21 + 8 > 21$). 2) Боковая сторона меньше основания на $13$ см. Пусть боковая сторона $x$, тогда основание $x + 13$. Периметр: $x + x + (x + 13) = 50 \Rightarrow 3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$. Стороны: $12\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3} + 13 = 25\frac{1}{3}$ см. (Проверим: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} = 24\frac{2}{3}$. Так как $24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$, такой треугольник не существует по неравенству треугольника). Ответ: $21$ см, $21$ см, $8$ см.