В треугольнике ABC AB > BC > AC. Найдите углы A, B, C, если известно, что один из углов треугольника равен 120, а другой 40.

**Вариант I** **1. Ответ: $\angle C > \angle A > \angle B$.** В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB > BC > AC$, то: - Против стороны $AB$ лежит $\angle C$ (самый большой). - Против стороны $BC$ лежит $\angle A$. - Против стороны $AC$ лежит $\angle B$ (самый маленький). Следовательно, $\angle C > \angle A > \angle B$. Если требуется найти градусные меры при условии, что один угол $120^{\circ}$, а другой $40^{\circ}$: Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - (120^{\circ} + 40^{\circ}) = 20^{\circ}$. Распределяем углы согласно длинам сторон: **Ответ: $\angle C = 120^{\circ}$, $\angle A = 40^{\circ}$, $\angle B = 20^{\circ}$.** **2. Ответ: $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 70^{\circ}$.** 1) Найдем $\angle B$: $5^{\circ} \times 12 = 60^{\circ}$. (В условии опечатка "в 12 раз меньше угла 5", вероятно имелось в виду 5 градусов). 2) Сумма углов в $\triangle ABC$ равна $180^{\circ}$. 3) $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. **3. Ответ: $90^{\circ}, 55^{\circ}, 35^{\circ}$.** В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 35^{\circ}$. Тогда $\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle ACD$, где $CD$ — высота ($CD \perp AB$, значит $\angle ADC = 90^{\circ}$): 1) $\angle ADC = 90^{\circ}$ (так как $CD$ — высота). 2) $\angle CAD = \angle A = 55^{\circ}$. 3) $\angle ACD = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 55^{\circ}) = 35^{\circ}$. **4*. Ответ: 7 см, 19 см, 19 см или 23 см, 11 см, 11 см.** Пусть стороны треугольника $a, a$ (боковые) и $b$ (основание). **Случай 1:** Боковая сторона на 12 см больше основания. $a = b + 12$ Периметр: $2a + b = 45 \Rightarrow 2(b + 12) + b = 45 \Rightarrow 3b + 24 = 45 \Rightarrow 3b = 21 \Rightarrow b = 7$ см. Тогда $a = 7 + 12 = 19$ см. Проверка неравенства треугольника: $19+19 > 7$ (верно). **Случай 2:** Основание на 12 см больше боковой стороны. $b = a + 12$ Периметр: $2a + (a + 12) = 45 \Rightarrow 3a = 33 \Rightarrow a = 11$ см. Тогда $b = 11 + 12 = 23$ см. Проверка: $11+11 > 23$ (ложно, $22 < 23$). Такой треугольник не существует. **Допущение:** В задаче 4 рассматривается только первый случай, либо в условии под "одной стороной" имеется в виду основание, которое меньше боковой.