В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC=46° и ∠ABC=78°.

1. **Ответ: 28°** 1. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$. Найдем угол $C$: $\angle C = 180° - (\angle A + \angle B) = 180° - (46° + 78°) = 180° - 124° = 56°$. 2. Так как $CE$ — биссектриса, она делит угол $C$ пополам: $\angle BCE = \angle C : 2 = 56° : 2 = 28°$. 2. **Ответ: 17°** 1. Рассмотрим треугольник $ABL$. Угол $ALC = 121°$ является внешним для него. По свойству внешнего угла: $\angle ALC = \angle BAL + \angle B$. $121° = \angle BAL + 101°$, откуда $\angle BAL = 121° - 101° = 20°$. 2. Так как $AL$ — биссектриса, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 20° = 40°$. 3. Находим угол $ACB$ из суммы углов треугольника $ABC$: $\angle ACB = 180° - (\angle BAC + \angle ABC) = 180° - (40° + 101°) = 180° - 141° = 19°$. **Допущение:** В расчетах получено 19°, проверим через треугольник $ALC$: $\angle LAC = 20°$, $\angle ALC = 121°$, тогда $\angle ACB = 180° - (20° + 121°) = 180° - 141° = 39°$. **Исправленное решение:** В условии $\angle B=101°$ и внешний $\angle ALC=121°$. В $\triangle ABL$: $\angle BAL = 121°-101°=20°$. Значит $\angle LAC = 20°$. В $\triangle ALC$: $\angle ACB = 180° - 121° - 20° = 39°$. 3. **Ответ: 12 см** 1. Периметр $\triangle ABC = AB + AC + BC = 40$ см. Так как он равнобедренный ($AB=AC$), то $2 \cdot AB + BC = 40$. 2. Медиана $AM$ в равнобедренном треугольнике является и высотой, и биссектрисой, и делит основание пополам: $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. 3. Периметр $\triangle ABM = AB + BM + AM = 32$ см. 4. Выразим $AB + BM$ из периметра $\triangle ABC$: $2 \cdot AB + 2 \cdot BM = 40 \Rightarrow AB + BM = 20$. 5. Подставим в периметр $\triangle ABM$: $20 + AM = 32 \Rightarrow AM = 32 - 20 = 12$ см. 4. **Ответ: 71°** Сумма углов треугольника равна $180°$. $180° - (36° + 73°) = 180° - 109° = 71°$. 5. **Ответ: 30 см и 30 см** 1. Если два внешних угла при разных вершинах равны, то равны и смежные с ними внутренние углы. Значит, треугольник равнобедренный. 2. Пусть боковые стороны равны $x$, основание $y$. Периметр $2x + y = 78$. 3. Если основание $y = 18$, то $2x + 18 = 78 \Rightarrow 2x = 60 \Rightarrow x = 30$. Стороны: 30, 30, 18 (существует: $30+18 > 30$). 4. Если боковая сторона $x = 18$, то $2 \cdot 18 + y = 78 \Rightarrow 36 + y = 78 \Rightarrow y = 42$. Стороны: 18, 18, 42 (не существует, так как $18+18 < 42$). Следовательно, стороны равны 30 см и 30 см.