Дано: AB ⊥ α, AB = 10, ∠ACB = 45°, ∠ADB = 45°, ∠CAD = 60°. Найдите CD.

**Ответ: CD = 10\sqrt{3}** **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($AB \perp \alpha$, значит $\angle ABD = 90^\circ$). Так как $\angle ADB = 45^\circ$, то $\triangle ABD$ — равнобедренный: $$BD = AB = 10$$ По теореме Пифагора или через синус: $$AD = \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}$$ 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (так как $AB \perp \alpha$). Судя по чертежу и условию, углы при основании наклонных равны. Если $\angle ADB = 45^\circ$ и на чертеже $\angle ACB$ также отмечен как $45^\circ$, то: $$BC = AB = 10$$ $$AC = AD = 10\sqrt{2}$$ 3. Теперь рассмотрим $\triangle CAD$. В нем нам известны две стороны $AC = 10\sqrt{2}$, $AD = 10\sqrt{2}$ и угол между ними $\angle CAD = 60^\circ$. Так как боковые стороны равны ($AC = AD$), треугольник равнобедренный. Угол при вершине $60^\circ$ делает его равносторонним. Следовательно: $$CD = AC = AD = 10\sqrt{2}$$ **Допущение:** В тексте условия $\angle ACB$ частично обрезан, но на чертеже дуга угла $C$ подписана как $45^\circ$, что совпадает с $\angle ADB$. Если $\angle ACB = 30^\circ$ (распространенный вариант в таких задачах), ответ изменится, но на данном фото четко видно $45^\circ$. Если CD рассматривать через треугольник CAD со сторонами $10\sqrt{2}$ и углом $60^\circ$, то по теореме косинусов: $$CD^2 = (10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 10\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot \cos 60^\circ$$ $$CD^2 = 200 + 200 - 400 \cdot 0.5 = 200$$ $$CD = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$ Однако, если в условии $\angle ACB = 45^\circ$ не задан прямо, а требуется найти CD исходя из других данных, то при $AC = AD = 10\sqrt{2}$ и $\angle CAD = 60^\circ$: **Ответ: $10\sqrt{2}$**