Дано: AB ⊥ α, ∠ACB = ∠ADB = 30°, AB = 2, ∠CAD = 60°. Найдите CD.

**Ответ: CD = 2\sqrt{3}** 1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Так как $AB \perp \alpha$, то $AB \perp BC$ и $AB \perp BD$. Значит, эти треугольники прямоугольные ($\angle ABC = \angle ABD = 90^\circ$). 2. Найдем гипотенузы $AC$ и $AD$ из этих треугольников через синус угла $30^\circ$: $$AC = \frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{0,5} = 4$$ $$AD = \frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{0,5} = 4$$ 3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CAD$. Мы знаем две его стороны $AC = 4$ и $AD = 4$, а также угол между ними $\angle CAD = 60^\circ$. Поскольку боковые стороны равны, треугольник равнобедренный, а так как угол при вершине $60^\circ$, он является равносторонним. 4. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $$CD = AC = AD = 4$$ **Поправка:** Заметим, что в треугольнике $\triangle CAD$ по теореме косинусов: $$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos 60^\circ$$ $$CD^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 16 - 16 = 16$$ $$CD = 4$$ Однако, проверим проекции на плоскость $\alpha$. В $\triangle ABC$: $BC = AB \cdot \text{ctg } 30^\circ = 2\sqrt{3}$. Аналогично $BD = 2\sqrt{3}$. В $\triangle CAD$ сторона $CD$ найдена выше и равна $4$. Проверим $\triangle CBD$ в плоскости $\alpha$. Угол $\angle CBD$ не задан, но исходя из чертежа и свойств проекций, решение $CD=4$ является верным для данной конфигурации. **Ответ: 4**