Дано: AB ⊥ α, ∠ACB = 45°, AC = 5√2, AD = 13. Найдите BD.

**Ответ: 12** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB \perp \alpha$, то $AB$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $B$. Значит, $AB \perp BC$ и $AB \perp BD$. Треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle ABC = 90^\circ$). 2. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ нам известна гипотенуза $AC = 5\sqrt{2}$ и угол $\angle ACB = 45^\circ$. Найдем катет $AB$ через синус угла: $$AB = AC \cdot \sin(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$$ 3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он также является прямоугольным ($\angle ABD = 90^\circ$). Нам известна гипотенуза $AD = 13$ и катет $AB = 5$. Найдем катет $BD$ по теореме Пифагора: $$BD = \sqrt{AD^2 - AB^2}$$ $$BD = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$