Дано: $AB \perp \alpha$, $\angle CAD = 90^\circ$, радиус окружности, описанной около $\triangle ACD$, равен 6, $\angle ADC = 30^\circ$, $\angle ACB = 45^\circ$. Найдите $AB$.

1. Треугольник $ADC$ прямоугольный, так как $\angle CAD = 90^\circ$. Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Значит, $CD = 2R = 2 \times 6 = 12$. 2. В прямоугольном треугольнике $ABD$ (так как $AB \perp \alpha$, то $AB \perp BD$), известен угол $\angle ADB = 30^\circ$. Тогда $BD = CD \times \cos(30^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (так как $AB \perp \alpha$, то $AB \perp BC$), известен угол $\angle ACB = 45^\circ$. Значит, $BC = CD \times \cos(45^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$. 4. В треугольнике $ABC$, так как $\angle ACB = 45^\circ$ и $AB \perp BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный, и $AB = BC = 6\sqrt{2}$. 5. В прямоугольном треугольнике $ABD$, $\tan(\angle ADB) = \frac{AB}{BD}$. Отсюда $AB = BD \times \tan(30^\circ) = 6\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 6$. **Ответ:** $AB = 6$