Дано: AB ⊥ α, ∠ACB = 30°, AC = 12, BD = 8. Найдите AD.

**Ответ: AD = 10** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB \perp \alpha$, а точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$, то отрезок $AB$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Следовательно, $AB \perp BC$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\angle ABC = 90^\circ$). 2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ нам известна гипотенуза $AC = 12$ и угол $\angle ACB = 30^\circ$. Катет $AB$ лежит против угла в $30^\circ$, значит, он равен половине гипотенузы: $$AB = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$ 3. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB \perp \alpha$, то $AB \perp BD$, и треугольник $ABD$ также является прямоугольным ($\angle ABD = 90^\circ$). По условию $BD = 8$. 4. По теореме Пифагора для треугольника $ABD$ найдем гипотенузу $AD$: $$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2}$$ $$AD = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$