Дано: AB ⊥ α, ∠CAD = 90°, ∠ACB = ∠ADB = 30°, R = 4√2 (радиус окружности, описанной около ΔACD). Найдите AB.

**Ответ: $4$** 1. Рассмотрим $\triangle ACD$. По условию $\angle CAD = 90^{\circ}$. Это прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности: $$CD = 2R = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$ 2. Так как $AB \perp \alpha$, то $AB \perp BC$ и $AB \perp BD$. Следовательно, $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ — прямоугольные с общим катетом $AB$. 3. Из прямоугольных треугольников $ABC$ и $ABD$ выразим гипотенузы через катет $AB$ и данные углы $\angle ACB = \angle ADB = 30^{\circ}$: $$AC = \frac{AB}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AB}{0,5} = 2AB$$ $$AD = \frac{AB}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AB}{0,5} = 2AB$$ 4. Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного $\triangle ACD$: $$AC^2 + AD^2 = CD^2$$ $$(2AB)^2 + (2AB)^2 = (8\sqrt{2})^2$$ $$4AB^2 + 4AB^2 = 64 \cdot 2$$ $$8AB^2 = 128$$ $$AB^2 = 16$$ $$AB = 4$$