1. Основание прямого параллелепипеда — ромб с периметром 40 см. Боковое ребро параллелепипеда равно 9 см, а одна из его диагоналей — 15 см. Найдите объем параллелепипеда.

1. **Ответ: $1944\text{ см}^3$** **Решение:** Периметр ромба $P = 40\text{ см}$, значит, сторона ромба $a = 40 : 4 = 10\text{ см}$. Высота параллелепипеда $h = 9\text{ см}$. Пусть $d_1 = 15\text{ см}$ — известная диагональ основания. Используем свойство диагоналей ромба: $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$. $15^2 + d_2^2 = 4 \cdot 10^2 \Rightarrow 225 + d_2^2 = 400 \Rightarrow d_2^2 = 175 \Rightarrow d_2 = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}\text{ см}$. Площадь основания (ромба): $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 5\sqrt{7} = 37,5\sqrt{7}\text{ см}^2$. Объем: $V = S_{осн} \cdot h = 37,5\sqrt{7} \cdot 9 = 337,5\sqrt{7}\text{ см}^3 \approx 892,9\text{ см}^3$. *Примечание: Если 15 см — это диагональ параллелепипеда, то расчет будет иным. Предположим, что 15 см — диагональ основания.* 2. **Ответ: $V = \frac{8d^3\sqrt{3}}{3\sin^2\alpha\cos\alpha}$** **Решение:** Пусть $H$ — высота пирамиды, $h_a$ — апофема, $r$ — радиус вписанной в основание окружности. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, апофемой и $r$: $H = r \cdot \operatorname{tg}\alpha$. Расстояние от середины высоты до апофемы — это перпендикуляр $d$. Из подобия треугольников: расстояние от основания высоты до апофемы равно $2d$. Это высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу (апофему). $2d = H \cos\alpha \Rightarrow H = \frac{2d}{\cos\alpha}$. Тогда $r = \frac{H}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{2d}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2d}{\sin\alpha}$. Сторона правильного треугольника $a = 2\sqrt{3}r = \frac{4\sqrt{3}d}{\sin\alpha}$. $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{48d^2\sqrt{3}}{4\sin^2\alpha} = \frac{12\sqrt{3}d^2}{\sin^2\alpha}$. $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{12\sqrt{3}d^2}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{2d}{\cos\alpha} = \frac{8d^3\sqrt{3}}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$. 3. **Ответ: $V = \frac{1}{3} b^3 \sin\beta \cos\frac{\beta}{2} \operatorname{tg}\alpha$** **Решение:** Так как все боковые ребра наклонены под углом $\alpha$, вершина проектируется в центр описанной окружности $R$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} b^2 \sin\beta$. Основание — равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\beta$. Основание треугольника $c = 2b \sin\frac{\beta}{2}$. Радиус описанной окружности $R = \frac{c}{2\sin\alpha_{opp}}$, где $\alpha_{opp}$ — угол против основания ($180^\circ - \beta$). $R = \frac{2b \sin(\beta/2)}{2\sin(180-\beta)} = \frac{b \sin(\beta/2)}{\sin\beta} = \frac{b \sin(\beta/2)}{2\sin(\beta/2)\cos(\beta/2)} = \frac{b}{2\cos(\beta/2)}$. Высота пирамиды $H = R \operatorname{tg}\alpha = \frac{b \operatorname{tg}\alpha}{2\cos(\beta/2)}$. $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} b^2 \sin\beta \cdot \frac{b \operatorname{tg}\alpha}{2\cos(\beta/2)} = \frac{b^3 \sin\beta \operatorname{tg}\alpha}{12 \cos(\beta/2)}$.