1) Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 48 и 20 см. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности.

### Задача 1 1. Найдём сторону ромба $a$ через диагонали $d_1 = 48$ см и $d_2 = 20$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам: $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ см. 2. Площадь основания (ромба): $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 20 = 480$ см². 3. Большая диагональ параллелепипеда $D$ проецируется на большую диагональ ромба $d_1 = 48$. Так как угол между ними $45^{\circ}$, высота $H$ равна проекции: $H = d_1 \cdot \tan(45^{\circ}) = 48 \cdot 1 = 48$ см. 4. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (4 \cdot 26) \cdot 48 = 104 \cdot 48 = 4992$ см². 5. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 4992 + 2 \cdot 480 = 4992 + 960 = 5952$ см². **Ответ: 5952 см².** --- ### Задача 2 **Допущение:** В условии опечатка в площади основания, должно быть $16\sqrt{3}$. 1. Найдём сторону основания $b$: $S_{осн} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow 16\sqrt{3} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow b^2 = 64 \Rightarrow b = 8$. 2. Высота пирамиды $h$: две грани перпендикулярны основанию, значит, их общее ребро — высота пирамиды, восстановленная из вершины треугольника. Линейный угол двугранного угла при третьей грани — это угол между высотой основания и апофемой. Высота треугольника $m = \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. $h = m \cdot \tan(45^{\circ}) = 4\sqrt{3} \cdot 1 = 4\sqrt{3}$. 3. Ребра: - Высота $H_{ребро} = 4\sqrt{3}$. - Два ребра по гипотенузе из катетов $b$ и $h$: $L_1 = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 48} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$. - Третье ребро из высоты основания $m$: $L_2 = \frac{m}{\cos(45^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{6}$. 4. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3}) + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{6} = 32\sqrt{3} + 16\sqrt{6}$. **Ответ: а) $4\sqrt{3}, 4\sqrt{7}, 4\sqrt{7}$; б) $32\sqrt{3} + 16\sqrt{6}$.** --- ### Задача 3 1. **Построение:** - Отметим точку $M$ — середину $BC$. - Проведём $AD_1$. - Так как плоскости $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, линия пересечения в нижней грани должна быть параллельна $AD_1$. Но $AD_1$ лежит в боковой грани. - Правильное сечение: соединяем $M$ и $D_1$ нельзя напрямую. Проводим прямую через $A$ и $M$ в основании. Сечение — равнобедренная трапеция $AD_1C'M$ (где $C'$ на ребре $CC_1$). Однако по условию прямая $AD_1$ уже задана. - Сечением является параллелограмм $AD_1NM$, где $N$ — середина $A_1B_1$. 2. Стороны сечения: $AD_1 = a\sqrt{2}$. Отрезок $AM = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. 3. Площадь сечения (прямоугольник): $S = AD_1 \cdot AM \cdot \sin(\alpha)$. Для куба это будет равнобедренная трапеция. Высота трапеции $h = \sqrt{a^2 + (a/4)^2} = \frac{a\sqrt{17}}{4}$. $S = \frac{a\sqrt{2} + a\sqrt{2}/2}{2} \cdot h = \frac{3a\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{17}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{34}}{16}$. **Ответ: $\frac{3a^2\sqrt{34}}{16}$ (площадь трапеции).**