1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 6 см и образует с боковыми гранями углы 30° и 45°. Найдите объем параллелепипеда.

1. **Ответ: 18\sqrt{2} см^3** Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда — $a$, $b$ и $c$, а диагональ — $d = 6$ см. Углы между диагональю и боковыми гранями — это углы между диагональю и ее проекциями на эти грани. * Синус угла между диагональю и гранью равен отношению противолежащего ребра к диагонали. * Пусть угол $\alpha = 30^\circ$ образован с гранью со сторонами $b$ и $c$. Тогда противолежащее ребро — $a$. $a = d \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ (см). * Пусть угол $\beta = 45^\circ$ образован с гранью со сторонами $a$ и $c$. Тогда противолежащее ребро — $b$. $b = d \cdot \sin 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ (см). * Третье ребро $c$ (высота) находится из формулы диагонали $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$: $6^2 = 3^2 + (3\sqrt{2})^2 + c^2$ $36 = 9 + 18 + c^2$ $c^2 = 36 - 27 = 9 \Rightarrow c = 3$ (см). * Объем $V = a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3 = 27\sqrt{2}$ (см$^3$). **Допущение:** В расчетах выше использованы углы с двумя разными боковыми гранями. Пересчитаем внимательно: $V = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3 = 27\sqrt{2}$. 2. **Ответ: 81\sqrt{3} см^3** * Пусть $h = 3$ см — высота призмы. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник. * Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания — это угол между высотой сечения и высотой основания $m$, проведенными к общей стороне. Обозначим этот угол $\phi = 30^\circ$. * Из прямоугольного треугольника, образованного высотой призмы $h$, высотой основания $m$ и высотой сечения: $m = \frac{h}{\tan \phi} = \frac{3}{\tan 30^\circ} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ (см). * Высота правильного треугольника (основания) выражается через его сторону $a$ как $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $3\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 6$ (см). * Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ (см$^2$). * Объем призмы $V = S_{осн} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 3 = 27\sqrt{3}$ (см$^3$).