Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площади двух его граней равны 10 см² и 40 см², а длина их общего бокового ребра — 5 см.

1. Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда как $a$ и $b$, а высоту как $h$. Площади двух граней, имеющих общее боковое ребро $h$, это $a \cdot h$ и $b \cdot h$.\n Дано:\n$a \cdot h = 10 \text{ см}^2$ $b \cdot h = 40 \text{ см}^2$ $h = 5 \text{ см}$ Из первого уравнения найдем $a$:\n$a \cdot 5 = 10 \Rightarrow a = 2 \text{ см}$ Из второго уравнения найдем $b$:\n$b \cdot 5 = 40 \Rightarrow b = 8 \text{ см}$ Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех его измерений:\n$V = a \cdot b \cdot h$ Подставим найденные значения:\n$V = 2 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 80 \text{ см}^3$ **Ответ: $80 \text{ см}^3$** 2. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы. В правильной треугольной призме основание — равносторонний треугольник.\n Дано:\n$S_{бок} = 108 \text{ см}^2$ Угол наклона диагонали боковой грани к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$ Пусть сторона основания равна $a$. Тогда периметр основания $P_{осн} = 3a$. Площадь боковой поверхности: $108 = 3a \cdot h$, откуда $a \cdot h = 36$. Высота боковой грани равна высоте призмы $h$. \n Диагональ боковой грани образует с ребром основания (стороной $a$) и высотой $h$ прямоугольный треугольник. Угол $45^\circ$ означает, что катеты этого треугольника равны, то есть $a = h$. \n Подставим $h = a$ в уравнение $a \cdot h = 36$:\n$a \cdot a = 36 \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \text{ см}$.\n Значит, сторона основания $a = 6 \text{ см}$, и высота призмы $h = 6 \text{ см}$.\n Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:\n$V = S_{осн} \cdot h$ Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$:\n$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ Подставим $a = 6 \text{ см}$:\n$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \text{ см}^2$ Теперь найдем объем призмы:\n$V = 9 \sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 54 \sqrt{3} \text{ см}^3$ **Ответ: $54 \sqrt{3} \text{ см}^3$** 3. Основание прямого параллелепипеда — ромб с периметром 20 см. \n Дано:\n$P_{ромба} = 20 \text{ см}$ Отношение диагоналей $d_1 : d_2 = 3 : 4$ Объем параллелепипеда равен объему куба с ребром 6 см. ($V_{пар} = V_{куба}$)\nРебро куба $L = 6 \text{ см}$ Найдем сторону ромба $a$: $P_{ромба} = 4a \Rightarrow 20 = 4a \Rightarrow a = 5 \text{ см}$.\n Обозначим диагонали ромба как $3x$ и $4x$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:\n$(\frac{3x}{2})^2 + (\frac{4x}{2})^2 = a^2$ $(\frac{3x}{2})^2 + (2x)^2 = 5^2$ $\frac{9x^2}{4} + 4x^2 = 25$ $\frac{9x^2 + 16x^2}{4} = 25$ $\frac{25x^2}{4} = 25$ $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ Тогда диагонали ромба:\n$d_1 = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$ $d_2 = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$ Площадь основания (ромба) равна половине произведения его диагоналей:\n$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$ Объем куба с ребром 6 см:\n$V_{куба} = L^3 = 6^3 = 216 \text{ см}^3$ Так как $V_{пар} = V_{куба}$, то $V_{пар} = 216 \text{ см}^3$.\n Объем прямого параллелепипеда: $V_{пар} = S_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота параллелепипеда.\n$216 = 24 \cdot H$ $H = \frac{216}{24} = 9 \text{ см}$ **Ответ: $9 \text{ см}$**