1. В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Определить объем, боковую и полную поверхности этой пирамиды. 2. Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Вычислить объем и боковую поверхность этого параллелепипеда.

1. **Допущение:** В условии первой задачи пропущено значение апофемы. Примем апофему за $l$. Также, судя по исправлению ручкой, требуется найти объём пирамиды. Пусть пирамида $SABCD$ — правильная четырёхугольная, $SO$ — высота, $SE$ — апофема, $\angle SEO = 60^\circ$ (угол наклона грани). 1) Из $\triangle SOE$ ($\angle O = 90^\circ$): $SO = SE \cdot \sin 60^\circ = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ (высота пирамиды); $OE = SE \cdot \cos 60^\circ = l \cdot \frac{1}{2}$. 2) Так как пирамида правильная, сторона основания $a = 2 \cdot OE = 2 \cdot \frac{l}{2} = l$. 3) Площадь основания $S_{осн} = a^2 = l^2$. 4) Объём $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO = \frac{1}{3} l^2 \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{l^3\sqrt{3}}{6}$. 5) Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} (4l) \cdot l = 2l^2$. 6) Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 2l^2 + l^2 = 3l^2$. 2. Решим задачу на нахождение объёма прямого параллелепипеда (согласно исправлению ручкой). Дано: $d_1 = 10\text{ см}$, $d_2 = 24\text{ см}$ (диагонали ромба), $\alpha = 45^\circ$ (угол меньшей диагонали параллелепипеда с основанием). 1) Площадь основания (ромба): $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\text{ см}^2$. 2) Меньшая диагональ параллелепипеда $D_1$ проецируется на меньшую диагональ основания $d_1 = 10\text{ см}$. В прямоугольном треугольнике, образованном $D_1$, $d_1$ и высотой $H$, угол равен $45^\circ$. Значит, треугольник равнобедренный: $H = d_1 = 10\text{ см}$. 3) Объём параллелепипеда: $V = S_{осн} \cdot H = 120 \cdot 10 = 1200\text{ см}^3$. 4) Для нахождения боковой поверхности найдем сторону ромба $a$ по теореме Пифагора из его половин диагоналей (5 и 12): $a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\text{ см}$. 5) Периметр основания: $P = 4a = 4 \cdot 13 = 52\text{ см}$. 6) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot H = 52 \cdot 10 = 520\text{ см}^2$. **Ответ: 1. V = \frac{l^3\sqrt{3}}{6}, S_{бок} = 2l^2, S_{полн} = 3l^2; 2. V = 1200\text{ см}^3, S_{бок} = 520\text{ см}^2.**