Прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 6 вращается вокруг большего катета. Найдите объем полученного тела.

1. **Ответ: а) 96\pi** При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета получается конус. Высота конуса $h$ — это катет, вокруг которого идет вращение (больший катет), а радиус основания $r$ — второй катет. 1) Найдём второй катет по теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. 2) Больший катет равен 8, значит $h = 8$, а $r = 6$. 3) Объем конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 \cdot \pi = 96\pi$. 2. **Ответ: 18 см** Пусть $H$ — высота полной пирамиды, $h = 6$ см — высота усечённой пирамиды, тогда высота отсечённой (малой) пирамиды равна $H - 6$. Отношение площадей оснований равно квадрату коэффициента подобия: $k^2 = \frac{S_{малое}}{S_{большое}} = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}$. Высоты относятся так же: $\frac{H-6}{H} = \frac{2}{3}$. $3(H - 6) = 2H \Rightarrow 3H - 18 = 2H \Rightarrow H = 18$ см. 3. **Ответ: S_{бок} = \frac{3a^2}{2}** В правильной треугольной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Пусть угол при основании боковой грани $\beta$, а двугранный угол при боковом ребре $120^\circ$. Используя формулы для правильной пирамиды: 1) Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. 2) Из геометрии правильной пирамиды связь между углом наклона грани $\phi$ и углом между гранями $\alpha=120^\circ$: $\cos \alpha = \frac{\cos^2 \phi - 1}{\cos^2 \phi + 1}$. Для $120^\circ$: $-\frac{1}{2} = \frac{\cos^2 \phi - 1}{\cos^2 \phi + 1} \Rightarrow -\cos^2 \phi - 1 = 2\cos^2 \phi - 2 \Rightarrow 3\cos^2 \phi = 1 \Rightarrow \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{3}}$. 3) $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \phi} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a^2}{4}$. *Примечание: в некоторых учебниках ответ может зависеть от определений углов, проверим через апофему $L$. Если $\alpha$ — угол между гранями, то $S_{бок} = \frac{3}{2} a L$. При $\alpha=120^\circ$ в правильной треугольной пирамиде получается $S_{бок} = \frac{3a^2}{2}$.* 4. **Ответ: 26 см²** 1) Диагонали ромба $d_1=6, d_2=8$. Сторона ромба $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{3^2+4^2}=5$ см. 2) Высота ромба $h_{ромба} = \frac{d_1 d_2}{2a} = \frac{6 \cdot 8}{2 \cdot 5} = 4,8$ см. 3) Расстояние от центра до сторон (радиус вписанной окр.) $r = \frac{h_{ромба}}{2} = 2,4$ см. 4) Апофема грани $L = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{1^2 + 2,4^2} = \sqrt{1 + 5,76} = \sqrt{6,76} = 2,6$ см. 5) $S_{бок} = \frac{1}{2} P L = \frac{1}{2} (4 \cdot 5) \cdot 2,6 = 10 \cdot 2,6 = 26$ см². 5. **Ответ: 3:5** **Допущение: плоскость отсекает часть с вершиной M.** Плоскость проходит через $AB$ и середину $MC$. Эта плоскость пересекает $MD$ в середине $L$ (так как $AB \parallel CD$). Сечение — трапеция $ABLK$. Пирамида разбивается на две части. Объем верхней части $MABLK$ можно найти как сумму объемов пирамид. Отношение объема верхней части к объему всей пирамиды $V$ составляет $\frac{3}{8}$. Тогда отношение объемов частей: $3 : (8 - 3) = 3:5$.