В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 10, а SL = 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. В правильной треугольной пирамиде в основании лежит равносторонний треугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. $L$ — середина $AC$, значит $SL$ — апофема боковой грани $SAC$. Так как пирамида правильная, $AB = BC = AC = 10$ см. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot SL = \frac{1}{2} \cdot (10 \cdot 3) \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135$ см$^2$. **Ответ: 135 см$^2$.** 2. Пусть измерения $a = 8$ см, $b = 6$ см, $c = 12$ см. Диагональ параллелепипеда $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{8^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 36 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ см. Диагонали боковых граней: $d_1 = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}$ см; $d_2 = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ см. Полная площадь $S_{полн} = 2(ab + bc + ac) = 2(8 \cdot 6 + 6 \cdot 12 + 8 \cdot 12) = 2(48 + 72 + 96) = 2 \cdot 216 = 432$ см$^2$. **Ответ: $2\sqrt{61}$ см, $4\sqrt{13}$ см или $6\sqrt{5}$ см, 432 см$^2$.** 3. В основании равнобедренная трапеция с основаниями $a = 27$ см, $b$ (неразборчиво, допустим 11) см. Уточните меньшее основание. Если $b = 11$ см: Периметр основания $P = a + b + 2 \cdot c = 27 + 11 + 2 \cdot 10 = 58$ см. $S_{бок} = P \cdot h = 58 \cdot 6 = 348$ см$^2$. **Ответ: 348 см$^2$.** 4. Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$ см. Периметр основания $P = 5 + 12 + 13 = 30$ см. Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$. $S_{бок} = P \cdot l = 30 \cdot 12 = 360$ см$^2$. $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 360 + 2 \cdot 30 = 420$ см$^2$. **Ответ: 360 см$^2$, 420 см$^2$.**