В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S.

Допущение: под *"В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S"* имеется в виду, что площадь треугольника АВО равна некоторому значению S, и это значение не было предоставлено. Будем считать, что S - это переменная, которая обозначает площадь треугольника АВО. Обозначим $S_{\triangle ABO} = S$. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников, если рассмотреть треугольники, образованные медианами и сторонами, а также их пересечениями. В нашем случае медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. То есть $AO:OA_1 = 2:1$ и $BO:OB_1 = 2:1$. Рассмотрим $\triangle AB C$. 1. Медиана $AA_1$ делит $\triangle AB C$ на два равновеликих треугольника: $\triangle AB A_1$ и $\triangle A C A_1$. То есть $S_{\triangle AB A_1} = S_{\triangle A C A_1} = \frac{1}{2} S_{\triangle AB C}$. 2. Аналогично, медиана $BB_1$ делит $\triangle AB C$ на два равновеликих треугольника: $\triangle AB B_1$ и $\triangle C B B_1$. То есть $S_{\triangle AB B_1} = S_{\triangle C B B_1} = \frac{1}{2} S_{\triangle AB C}$. 3. Точка $O$ — это точка пересечения медиан. Рассмотрим $\triangle A B A_1$. $BO$ является медианой для этого треугольника, так как $BB_1$ медиана $\triangle A B C$, значит $B_1$ середина $AC$. $O$ лежит на $BB_1$. Если $BO$ не является медианой $\triangle A B A_1$, то $BO$ является отрезком, соединяющим вершину $B$ с точкой $O$ на медиане $AA_1$. Более просто, медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Эти треугольники: $\triangle AOB_1$, $\triangle B_1OC$, $\triangle COA_1$, $\triangle A_1OB$, $\triangle BOA$, $\triangle A_1OB$. Нет, это не так. Точка пересечения медиан делит треугольник на 6 маленьких треугольников, которые имеют равные площади. Эти треугольники: $\triangle AOB_1$, $\triangle BOC_1$, $\triangle COA_1$, $\triangle A_1OB$, $\triangle B_1OC$, $\triangle C_1OA$. $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BO C} = S_{\triangle C OA}$. Нет, это неверно. Правильное свойство: медианы делят треугольник на 6 треугольников, площади которых равны, то есть $S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle B_1OC} = S_{\triangle COA_1} = S_{\triangle A_1OB} = S_{\triangle BOA} = S_{\triangle A_1OB}$. Нет, это тоже неверно. Известное свойство: Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади. Если $AA_1$ - медиана, то $S_{\triangle ABA_1} = S_{\triangle ACA_1}$. Рассмотрим $\triangle ABA_1$. $BO$ делит $\triangle ABA_1$ на $\triangle ABO$ и $\triangle OBA_1$. Так как $O$ делит $AA_1$ в отношении $2:1$, то $AO:OA_1 = 2:1$. $\triangle ABO$ и $\triangle OBA_1$ имеют общую высоту из вершины $B$ к прямой $AA_1$. Значит, их площади относятся как основания: $$S_{\triangle ABO} : S_{\triangle OBA_1} = AO : OA_1 = 2:1$$ Отсюда, $S_{\triangle OBA_1} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABO} = \frac{1}{2} S$. Тогда $S_{\triangle ABA_1} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle OBA_1} = S + \frac{1}{2} S = \frac{3}{2} S$. Поскольку $AA_1$ - медиана, $S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle ABA_1}$. $$S_{\triangle ABC} = 2 \cdot \left(\frac{3}{2} S\right) = 3S$$ **Ответ:** $3S$