19. а) Решите уравнение 2 ⋅ 9^x - 11 ⋅ 6^x + 3 ⋅ 4^{x+1} = 0. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [0; 3].

а) Решим уравнение: $2 \cdot 9^x - 11 \cdot 6^x + 3 \cdot 4^{x+1} = 0$ $2 \cdot 3^{2x} - 11 \cdot (2 \cdot 3)^x + 3 \cdot 4^x \cdot 4^1 = 0$ $2 \cdot 3^{2x} - 11 \cdot 2^x \cdot 3^x + 12 \cdot 2^{2x} = 0$ Разделим обе части на $2^{2x} = 4^x$ (так как $4^x \neq 0$): $2 \cdot \frac{3^{2x}}{2^{2x}} - 11 \cdot \frac{3^x}{2^x} + 12 = 0$ $2 \cdot (\frac{3}{2})^{2x} - 11 \cdot (\frac{3}{2})^x + 12 = 0$ Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$, где $t > 0$. Тогда: $2t^2 - 11t + 12 = 0$ $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25 = 5^2$ $t_1 = \frac{11 - 5}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$ $t_2 = \frac{11 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$ Вернемся к замене: 1) $(\frac{3}{2})^x = 1,5 \Rightarrow (1,5)^x = 1,5^1 \Rightarrow x_1 = 1$ 2) $(\frac{3}{2})^x = 4 \Rightarrow x_2 = \log_{1,5} 4 = \log_{\frac{3}{2}} 4 = \frac{\lg 4}{\lg 1,5} = \frac{2 \lg 2}{\lg 3 - \lg 2}$ б) Проверим, принадлежат ли корни отрезку $[0; 3]$: $x_1 = 1$: $0 \le 1 \le 3$ (верно). $x_2 = \log_{1,5} 4$: так как $1,5^1 = 1,5$ и $1,5^2 = 2,25$ и $1,5^3 = 3,375$ и $1,5^4 = 5,0625$, то $3 < x_2 < 4$. Следовательно, $x_2$ не принадлежит отрезку $[0; 3]$. **Ответ:** а) $1; \log_{1,5} 4$; б) $1$.