В треугольнике ABC на серединах сторон AB и BC отмечены точки P и M соответственно. AC = 3,6 м. Найдите PM

№ 1 Точки P и M — это середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок PM является средней линией треугольника ABC. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. В данном случае PM параллельна AC. $$PM = \frac{1}{2} AC$$ $$PM = \frac{1}{2} \cdot 3,6 \text{ м}$$ $$PM = 1,8 \text{ м}$$ **Ответ: PM = 1,8 м** № 2 Формула для средней линии трапеции: $$l = \frac{a+b}{2}$$ Где $l$ — средняя линия, $a$ и $b$ — основания трапеции. Дано: Средняя линия $l = 28$ см. Меньшее основание, например, $a = 20$ см. Нужно найти большее основание $b$. Подставляем известные значения в формулу: $$28 = \frac{20+b}{2}$$ Умножим обе части на 2: $$28 \cdot 2 = 20 + b$$ $$56 = 20 + b$$ Вычтем 20 из обеих частей: $$b = 56 - 20$$ $$b = 36 \text{ см}$$ **Ответ: 36 см** № 3 Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Медианы AM и BK пересекаются в точке O. Значит, для медианы BK: $$BO:OK = 2:1$$ Для медианы AM: $$AO:OM = 2:1$$ Дано: $BO = 24$ см, $AM = 21$ см. Найдем OK: Так как $BO:OK = 2:1$, то $OK = \frac{1}{2} BO$ $$OK = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ см} = 12 \text{ см}$$ Теперь найдем всю медиану BK: $$BK = BO + OK$$ $$BK = 24 \text{ см} + 12 \text{ см} = 36 \text{ см}$$ Найдем OM: Так как $AO:OM = 2:1$, то $OM = \frac{1}{3} AM$ (поскольку AM состоит из 3 частей: 2 части AO и 1 часть OM) $$OM = \frac{1}{3} \cdot 21 \text{ см} = 7 \text{ см}$$ **Ответ: BK = 36 см, OM = 7 см** № 4 (1 вариант) Дано: В $\triangle ABC$ прямая, параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и M соответственно. $AB = 51$ см, $PM = 32$ см, $AC = 48$ см. Доказать, что $\triangle ABC$ подобен $\triangle PBM$. 1. Так как прямая PM параллельна AC, то углы при параллельных прямых и секущей равны: - $\angle BPC = \angle BAC$ (соответственные углы при секущей AB) - $\angle BMP = \angle BCA$ (соответственные углы при секущей BC) - $\angle B$ — общий угол для обоих треугольников. 2. По двум углам (или по трем углам), $\triangle ABC \sim \triangle PBM$. Найти AP. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон: $$\frac{PM}{AC} = \frac{BP}{AB} = \frac{BM}{BC}$$ Используем отношение $\frac{PM}{AC} = \frac{BP}{AB}$: $$\frac{32}{48} = \frac{BP}{51}$$ Сократим дробь $\frac{32}{48}$: разделим на 16. $$\frac{2}{3} = \frac{BP}{51}$$ Найдем BP: $$BP = \frac{2}{3} \cdot 51$$ $$BP = 2 \cdot \frac{51}{3}$$ $$BP = 2 \cdot 17$$ $$BP = 34 \text{ см}$$ Теперь найдем AP: $$AP = AB - BP$$ $$AP = 51 \text{ см} - 34 \text{ см}$$ $$AP = 17 \text{ см}$$ **Ответ: AP = 17 см**