На рисунке CN = 1/2 AC, CM = 2/3 BC, S MNC = 18 см^2. Найдите S ABC.

**Задание 41** **Ответ: $S_{ABC} = 54$ см²** Решение: 1. По условию $CN = \frac{1}{2} AC$ и $CM = \frac{2}{3} BC$. 2. Площади треугольников, имеющих общий угол (в данном случае угол $C$), относятся как произведения сторон, заключающих этот угол: $\frac{S_{MNC}}{S_{ABC}} = \frac{CN \cdot CM}{AC \cdot BC}$ 3. Подставим значения из условия: $\frac{S_{MNC}}{S_{ABC}} = \frac{(\frac{1}{2} AC) \cdot (\frac{2}{3} BC)}{AC \cdot BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ 4. Так как $S_{MNC} = 18$ см², то: $18 = \frac{1}{3} S_{ABC}$, откуда $S_{ABC} = 18 \cdot 3 = 54$ см². **Задание 42** **Ответ: $S_{ABCD} = 66$ см²** Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABH$ (где $BH$ — высота). В нём $\angle A = 30^{\circ}$, $AB = 12$ см. 2. Катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы: $BH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. 3. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a, b$ — основания, $h$ — высота: $S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{7 + 15}{2} \cdot 6 = \frac{22}{2} \cdot 6 = 11 \cdot 6 = 66$ см².