1. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Пусть меньшее основание равно $x$ см. Тогда:
$$\frac{x + 100}{2} = 62$$
$$x + 100 = 124$$
$$x = 124 - 100$$
$$x = 24$$
**Ответ: 24 см.**
2. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, $BO:OM = 2:1$ и $CO:OK = 2:1$.
Известно, что $MO = 21$ м. Так как $BO:OM = 2:1$, то $BO = 2 \times MO = 2 \times 21 = 42$ м.
Известно, что $BK = 72$ м. Медиана $BK$ состоит из отрезков $BO$ и $OK$. Значит, $BO + OK = BK$. Мы знаем, что $BO = 42$ м, поэтому $OK = BK - BO = 72 - 42 = 30$ м.
Поскольку $CO:OK = 2:1$, то $CO = 2 \times OK = 2 \times 30 = 60$ м.
**Ответ: OC = 60 м, BO = 42 м.**
3. а) Докажем подобие $\triangle ABC$ и $\triangle KBM$.
По условию, прямая $KM$ параллельна $AC$. Это значит, что $\angle BKM = \angle BAC$ (соответственные углы при параллельных прямых $KM$ и $AC$ и секущей $AB$) и $\angle BMK = \angle BCA$ (соответственные углы при параллельных прямых $KM$ и $AC$ и секущей $BC$). Также $\angle B$ — общий для обоих треугольников. По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), $\triangle ABC \sim \triangle KBM$.
Для нахождения $MC$ воспользуемся подобием треугольников. Так как $\triangle ABC \sim \triangle KBM$, то отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:
$$k = \frac{AC}{KM} = \frac{33}{22} = \frac{3}{2}$$
Также $\frac{BC}{BM} = k = \frac{3}{2}$.
Известно, что $BC = 30$ см. Тогда:
$$\frac{30}{BM} = \frac{3}{2}$$
$$3 \times BM = 30 \times 2$$
$$3 \times BM = 60$$
$$BM = 20$$
Отрезок $BC$ состоит из $BM$ и $MC$. Значит, $MC = BC - BM = 30 - 20 = 10$ см.
**Ответ: $\triangle ABC$ подобен $\triangle KBM$. MC = 10 см.**
3. б) Из подобия треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle TBK$ (по двум углам: $\angle B$ - общий, $\angle BTK = \angle BAC$ как соответственные при $TK \parallel AC$ и секущей $AB$) следует, что отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон:
$$k = \frac{AC}{TK} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$$
Отношение площадей:
$$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle TBK}} = k^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}$$
Известно, что $S_{\triangle ABC} = 405$ см$^2$. Подставим это значение:
$$\frac{405}{S_{\triangle TBK}} = \frac{81}{4}$$
$$S_{\triangle TBK} = \frac{405 \times 4}{81}$$
$$S_{\triangle TBK} = \frac{1620}{81}$$
$$S_{\triangle TBK} = 20$$
**Ответ: Площадь треугольника ТВК = 20 см$^2$.**
4. а) Диагонали трапеции делят друг друга в отношении, равном отношению оснований. То есть, $\frac{BK}{KD} = \frac{BC}{AD}$.
Известно, что $BC = 24$ см, $AD = 40$ см, $BD = 32$ см.
Пусть $BK = x$, тогда $KD = BD - BK = 32 - x$.
Подставим значения в отношение:
$$\frac{x}{32 - x} = \frac{24}{40}$$
Упростим дробь $\frac{24}{40}$:
$$\frac{24}{40} = \frac{3 \times 8}{5 \times 8} = \frac{3}{5}$$
Теперь решаем уравнение:
$$\frac{x}{32 - x} = \frac{3}{5}$$
$$5x = 3(32 - x)$$
$$5x = 96 - 3x$$
$$5x + 3x = 96$$
$$8x = 96$$
$$x = \frac{96}{8}$$
$$x = 12$$
Таким образом, $BK = 12$ см, а $KD = 32 - 12 = 20$ см.
**Ответ: KD = 20 см.**
4. б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ высота $CH$ проведена к гипотенузе $AB$. В таком треугольнике квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.
$$CH^2 = AH \times HB$$
Известно, что $AH = 72$, $HB = 18$.
$$CH^2 = 72 \times 18$$
$$CH^2 = 1296$$
$$CH = \sqrt{1296}$$
$$CH = 36$$
**Ответ: CH = 36.**
