Биссектриса BD делит сторону AC треугольника ABC на отрезки AD и CD, равные соответственно 6 см и 9 см, AB = 8 см. Чему равен периметр треугольника ABC?

1. По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$. Это значит: $$ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD} $$ Нам даны $AD = 6$ см, $CD = 9$ см, $AB = 8$ см. Подставим эти значения в формулу: $$ \frac{8}{BC} = \frac{6}{9} $$ Упростим дробь $\frac{6}{9}$: $$ \frac{6}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{2}{3} $$ Теперь уравнение выглядит так: $$ \frac{8}{BC} = \frac{2}{3} $$ Чтобы найти $BC$, мы можем перемножить крест-накрест: $$ 8 \cdot 3 = 2 \cdot BC $$ $$ 24 = 2 \cdot BC $$ Разделим обе части на 2: $$ BC = \frac{24}{2} $$ $$ BC = 12 \text{ см} $$ Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника $ABC$, найдем его периметр. Сторона $AC = AD + CD = 6 + 9 = 15$ см. Периметр $P_{ABC} = AB + BC + AC = 8 + 12 + 15 = 35$ см. **Ответ: 35 см** 2. Площади двух подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия $k$. То есть: $$ \frac{S_1}{S_2} = k^2 $$ Нам даны площади $S_1 = 9$ см$^2$ и $S_2 = 16$ см$^2$. Найдем $k^2$: $$ k^2 = \frac{9}{16} $$ Чтобы найти коэффициент подобия $k$, возьмем квадратный корень из обеих частей: $$ k = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} $$ Теперь мы знаем, что отношение соответствующих сторон равно $k = \frac{3}{4}$. Пусть $a_1$ — сторона первого треугольника, а $a_2$ — соответствующая ей сторона второго треугольника. Тогда: $$ \frac{a_1}{a_2} = k $$ Нам дана одна из сторон первого треугольника $a_1 = 3$ см. Нужно найти соответствующую ей сторону второго треугольника $a_2$: $$ \frac{3}{a_2} = \frac{3}{4} $$ Перемножим крест-накрест: $$ 3 \cdot 4 = 3 \cdot a_2 $$ $$ 12 = 3 \cdot a_2 $$ Разделим обе части на 3: $$ a_2 = \frac{12}{3} $$ $$ a_2 = 4 \text{ см} $$ **Ответ: 4 см**