Найдите наименьшее значение функции y = (x + 26)^2 * e^(26-x) на отрезке [-27; -25]

**Ответ: 0** Чтобы найти наименьшее значение функции $y = (x + 26)^2 e^{26-x}$ на отрезке $[-27; -25]$, выполним следующие шаги: 1. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения $u \cdot v$: $$y' = ((x + 26)^2)' \cdot e^{26-x} + (x + 26)^2 \cdot (e^{26-x})'$$ $$y' = 2(x + 26) \cdot e^{26-x} + (x + 26)^2 \cdot e^{26-x} \cdot (-1)$$ $$y' = e^{26-x}(2x + 52 - (x^2 + 52x + 676))$$ $$y' = e^{26-x}(2x + 52 - x^2 - 52x - 676)$$ $$y' = e^{26-x}(-x^2 - 50x - 624)$$ Упростим, вынеся общий множитель $(x+26)$: $$y' = (x + 26)e^{26-x}(2 - (x + 26)) = (x + 26)e^{26-x}(2 - x - 26) = (x + 26)e^{26-x}(-x - 24)$$ 2. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $$(x + 26)(-x - 24)e^{26-x} = 0$$ Так как $e^{26-x} > 0$ всегда, то: $x + 26 = 0 \Rightarrow x_1 = -26$ $-x - 24 = 0 \Rightarrow x_2 = -24$ 3. Проверим, какие точки лежат на отрезке $[-27; -25]$: Точка $x = -26$ принадлежит отрезку. Точка $x = -24$ не принадлежит. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - При $x = -27$: $y(-27) = (-27 + 26)^2 e^{26-(-27)} = (-1)^2 e^{53} = e^{53}$ - При $x = -26$: $y(-26) = (-26 + 26)^2 e^{26-(-26)} = 0^2 e^{52} = 0$ - При $x = -25$: $y(-25) = (-25 + 26)^2 e^{26-(-25)} = 1^2 e^{51} = e^{51}$ 5. Сравним полученные значения: Так как $e \approx 2,71$, то $e^{51}$ и $e^{53}$ — очень большие положительные числа. Минимальное из них — 0.