Найдите наименьшее значение функции y = (x² - 39x + 39)e^{2-x} на отрезке [0; 6]

**Ответ: -1** Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно исследовать её с помощью производной: 1. Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$y' = (x^2 - 39x + 39)' \cdot e^{2-x} + (x^2 - 39x + 39) \cdot (e^{2-x})'$$ $$y' = (2x - 39)e^{2-x} + (x^2 - 39x + 39)e^{2-x} \cdot (-1)$$ $$y' = e^{2-x}(2x - 39 - x^2 + 39x - 39)$$ $$y' = e^{2-x}(-x^2 + 41x - 78)$$ 2. Приравняем производную к нулю. Так как $e^{2-x} > 0$ при любых $x$, решаем уравнение: $$-x^2 + 41x - 78 = 0$$ $$x^2 - 41x + 78 = 0$$ По теореме Виета или через дискриминант: $$D = 41^2 - 4 \cdot 78 = 1681 - 312 = 1369 = 37^2$$ $$x_1 = \frac{41 + 37}{2} = 39$$ $$x_2 = \frac{41 - 37}{2} = 2$$ 3. Анализируем точки: Точка $x = 39$ не принадлежит отрезку $[0; 6]$. Точка $x = 2$ принадлежит отрезку $[0; 6]$. Определим знаки производной. При $x < 2$ (например, $x=0$) $y' < 0$ (функция убывает), при $x > 2$ $y' > 0$ (функция возрастает). Значит, $x = 2$ — точка минимума. 4. Вычислим значение функции в точке минимума $x = 2$: $$y(2) = (2^2 - 39 \cdot 2 + 39)e^{2-2} = (4 - 78 + 39)e^0 = -35 \cdot 1 = -35$$ **Допущение:** В тексте задания на изображении функция записана как $y = (x^2 - 39x + 39)e^{2-x}$, однако в подобных задачах ЕГЭ часто встречается коэффициент, дающий целое «красивое» число. Проверим границы: $y(0) = 39e^2$ (положительное число) $y(6) = (36 - 234 + 39)e^{-4} = -159e^{-4} \approx -2.9$ Сравним $-35$ и $-2.9$. Наименьшее значение $-35$.