Найдите наименьшее значение функции y=(x^2-10x+10)e^(2-x) на отрезке [-1; 7].

Чтобы найти наименьшее значение функции $y=(x^2-10x+10)e^{2-x}$ на отрезке $[-1; 7]$, нужно сделать следующее: 1. Найти производную функции: $$y' = (2x - 10)e^{2-x} + (x^2 - 10x + 10)(-1)e^{2-x}$$ $$y' = e^{2-x}(2x - 10 - x^2 + 10x - 10)$$ $$y' = e^{2-x}(-x^2 + 12x - 20)$$ 2. Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$e^{2-x}(-x^2 + 12x - 20) = 0$$ Так как $e^{2-x}$ всегда больше нуля, то: $$-x^2 + 12x - 20 = 0$$ $$x^2 - 12x + 20 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$$ $$x_1 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2} = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ 3. Проверить, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $[-1; 7]$. Точка $x=2$ принадлежит отрезку $[-1; 7]$. Точка $x=10$ не принадлежит отрезку $[-1; 7]$. 4. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка. При $x = -1$: $$y(-1) = ((-1)^2 - 10(-1) + 10)e^{2-(-1)} = (1 + 10 + 10)e^3 = 21e^3$$ При $x = 2$: $$y(2) = (2^2 - 10 \cdot 2 + 10)e^{2-2} = (4 - 20 + 10)e^0 = (-6) \cdot 1 = -6$$ При $x = 7$: $$y(7) = (7^2 - 10 \cdot 7 + 10)e^{2-7} = (49 - 70 + 10)e^{-5} = (-11)e^{-5}$$ 5. Сравнить полученные значения и выбрать наименьшее: $21e^3 \approx 21 \cdot 20.08 = 421.68$ $-6$ $-11e^{-5} \approx -11 \cdot 0.0067 = -0.0737$ Наименьшее значение из этих трех чисел -6. **Ответ:** $-6$