Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277).

1. Угол при вершине этого треугольника равен $57^\circ$. 2. Найдём градусную меру угла $DCE$ (рис. 277): Угол, смежный с углом $104^\circ$, равен $180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. Поскольку внутренние односторонние углы при параллельных прямых $FA$ и $MK$ и секущей $FD$ составляют $76^\circ + 76^\circ = 152^\circ \ne 180^\circ$, прямые $FA$ и $MK$ не параллельны. Угол $CDB$ равен $40^\circ$ как вертикальный с углом $EDK$. Тогда в треугольнике, образованном пересечением прямых $FA$ и $MK$ секущей $CD$ и секущей, которая не имеет обозначения, один из углов равен $76^\circ$ (угол $MBA$), а другой $40^\circ$ (угол $CDB$). Угол $BCE$ и угол $CBA$ являются внутренними односторонними при прямых $AE$ и $BD$ и секущей $FB$. Так как $FA \parallel MK$ (по знакам на рисунке), то угол $BCD = 76^\circ$ (как накрест лежащий с углом $ABC$). Угол $DCE$ и угол $BCK$ — смежные, их сумма $180^\circ$. Угол $BCK$ является внешним углом треугольника $CKD$. Угол $KDC = 40^\circ$. В треугольнике $CDE$ внешний угол при вершине $C$ равен $180^\circ - \angle BCE$. Угол $BCA = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. Прямые $AE$ и $BD$ параллельны, так как сумма внутренних односторонних углов $104^\circ + 76^\circ = 180^\circ$. Так как $AE \parallel BD$, то $\angle DCE$ и $\angle CDK$ — накрест лежащие углы. $\angle DCE = \angle CDK = 40^\circ$. **Ответ: $40^\circ$** 3. Найдём градусную меру угла $F$ (рис. 278): В треугольнике $MNF$ угол $MNP = 24^\circ$ и угол $MPK = 38^\circ$. Угол $NKP = 72^\circ$. Рассмотрим треугольник $MNP$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $KNF$: $\angle K + \angle N + \angle F = 180^\circ$. Рассмотрим треугольник $KNP$. Угол $P$ является внешним углом для треугольника $MPF$. $\angle KNF = \angle KNM + \angle MNF$. В треугольнике $KMP$ внешний угол при вершине $P$ равен сумме углов $K$ и $M$. Рассмотрим треугольник $KNF$. Угол $F$ надо найти. В треугольнике $KNP$: $\angle NKP = 72^\circ$. $\angle NPK = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$. Но это не так, $38^\circ$ — это часть угла $F$. Рассмотрим треугольник $KMN$. $\angle KMN + \angle MNK + \angle NKM = 180^\circ$. $\angle KMN = 24^\circ$. $\angle NKM$ - это часть $\angle K$. Пусть $\angle F = x$. В треугольнике $KNF$: $\angle FKN = \angle K = 72^\circ$. $\angle KNF = 180^\circ - (\angle K + \angle F)$. В треугольнике $MPF$: $\angle MPF + \angle PFM + \angle FMP = 180^\circ$. $\angle PFM = \angle F$. Внешний угол $NKF$ для треугольника $MNF$ равен $\angle NMF + \angle NFM = 24^\circ + \angle F$. Рассмотрим треугольник $KPF$. $\angle PKF$ неизвестен. Угол $NKP = 72^\circ$. В треугольнике $MNP$ угол $NMP = 24^\circ$. Угол $NPK = 38^\circ$. Угол $KPN = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$. Не подходит. Угол $KNP = 180^\circ - \angle K - \angle P$. Угол $PNF$ - внешний угол для треугольника $MNP$. $\angle PNF = \angle NMP + \angle NPM = 24^\circ + 38^\circ = 62^\circ$. В треугольнике $KNF$: $\angle K = 72^\circ$. $\angle KNF = \angle PNF = 62^\circ$. $\angle F = 180^\circ - (\angle K + \angle KNF) = 180^\circ - (72^\circ + 62^\circ) = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$. **Ответ: $46^\circ$**