Решите уравнение: $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1$

Чтобы решить уравнение, нужно уединить один из корней, а потом возвести обе части в квадрат. $$\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1$$ Перенесем $-\sqrt{x+5}$ в правую часть: $$\sqrt{2x-4} = 1 + \sqrt{x+5}$$ Теперь возведем обе части в квадрат. Помни, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(\sqrt{2x-4})^2 = (1 + \sqrt{x+5})^2$$ $$2x-4 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+5} + (\sqrt{x+5})^2$$ $$2x-4 = 1 + 2\sqrt{x+5} + x+5$$ Упростим правую часть и перенесем все, кроме корня, в левую часть: $$2x-4 = x+6 + 2\sqrt{x+5}$$ $$2x-4 - x - 6 = 2\sqrt{x+5}$$ $$x-10 = 2\sqrt{x+5}$$ Снова возведем обе части в квадрат. Слева получим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$(x-10)^2 = (2\sqrt{x+5})^2$$ $$x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{x+5})^2$$ $$x^2 - 20x + 100 = 4(x+5)$$ $$x^2 - 20x + 100 = 4x + 20$$ Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - 20x - 4x + 100 - 20 = 0$$ $$x^2 - 24x + 80 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формул корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$a=1, b=-24, c=80$$ $$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80$$ $$D = 576 - 320$$ $$D = 256$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ $$x_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Теперь обязательно нужно проверить, подходят ли эти корни к исходному уравнению, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Условия для существования корней: $2x-4 \ge 0 \implies x \ge 2$ и $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$. Оба корня $x_1=20$ и $x_2=4$ удовлетворяют этим условиям. Проверим $x=20$: $$\sqrt{2(20)-4} - \sqrt{20+5} = \sqrt{40-4} - \sqrt{25} = \sqrt{36} - 5 = 6 - 5 = 1$$ $1=1$, значит, $x=20$ — это корень уравнения. Проверим $x=4$: $$\sqrt{2(4)-4} - \sqrt{4+5} = \sqrt{8-4} - \sqrt{9} = \sqrt{4} - 3 = 2 - 3 = -1$$ $-1 \ne 1$, значит, $x=4$ — это посторонний корень. **Ответ:** $20$