1) Решим уравнение $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ):
$3x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{4}{3}$
$x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$
$x \ge 0$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$
$(3x+4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} + (x-4) = 4x$
$4x + 2\sqrt{3x^2 - 12x + 4x - 16} = 4x$
$2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$
$\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$
$3x^2 - 8x - 16 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{8 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 16}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{8 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 16}{6} = \frac{24}{6} = 4$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 4$):
$x_1 = -\frac{4}{3}$ не подходит, так как $- \frac{4}{3} < 4$.
$x_2 = 4$ подходит, так как $4 \ge 4$.
Проверим корень $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{3(4)+4} + \sqrt{4-4} = 2\sqrt{4}$
$\sqrt{12+4} + \sqrt{0} = 2 \cdot 2$
$\sqrt{16} + 0 = 4$
$4 = 4$
Верно.
**Ответ: 4**
2) Решим уравнение $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$.
Область допустимых значений (ОДЗ):
$x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$
$9-x \ge 0 \Rightarrow x \le 9$
$2x-12 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 12 \Rightarrow x \ge 6$
Следовательно, ОДЗ: $6 \le x \le 9$.
Перенесем $\sqrt{9-x}$ в правую часть:
$\sqrt{x+1} = \sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x})^2$
$x+1 = (2x-12) + 2\sqrt{(2x-12)(9-x)} + (9-x)$
$x+1 = 2x-12+9-x + 2\sqrt{18x - 2x^2 - 108 + 12x}$
$x+1 = x-3 + 2\sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$
$4 = 2\sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$
$2 = \sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$
Возведем обе части уравнения в квадрат еще раз:
$2^2 = (\sqrt{-2x^2 + 30x - 108})^2$
$4 = -2x^2 + 30x - 108$
$2x^2 - 30x + 108 + 4 = 0$
$2x^2 - 30x + 112 = 0$
Разделим все на 2:
$x^2 - 15x + 56 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($6 \le x \le 9$):
$x_1 = 7$ подходит, так как $6 \le 7 \le 9$.
$x_2 = 8$ подходит, так как $6 \le 8 \le 9$.
Проверим корни подстановкой в уравнение $\sqrt{x+1} = \sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x}$ (это уравнение получено после первого возведения в квадрат, и оно эквивалентно исходному при условии, что $\sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x} \ge 0$, что всегда верно для действительных корней):
Для $x=7$:
$\sqrt{7+1} = \sqrt{2(7)-12} + \sqrt{9-7}$
$\sqrt{8} = \sqrt{14-12} + \sqrt{2}$
$\sqrt{8} = \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
Верно.
Для $x=8$:
$\sqrt{8+1} = \sqrt{2(8)-12} + \sqrt{9-8}$
$\sqrt{9} = \sqrt{16-12} + \sqrt{1}$
$3 = \sqrt{4} + 1$
$3 = 2 + 1$
$3 = 3$
Верно.
**Ответ: 7; 8**
