Решите уравнение: x - 2 = sqrt(x - 1)

**Ответ: $x = 3$** **Решение:** $x - 2 = \sqrt{x - 1}$ 1. Установим область допустимых значений (ОДЗ) и условие возведения в квадрат: $\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow x \ge 2$ 2. Возведём обе части уравнения в квадрат: $(x - 2)^2 = (\sqrt{x - 1})^2$ $x^2 - 4x + 4 = x - 1$ 3. Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные: $x^2 - 4x - x + 4 + 1 = 0$ $x^2 - 5x + 5 = 0$ 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$ 5. Проверим корни по условию $x \ge 2$: - $x_1 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2,24}{2} \approx 3,62$ (подходит, так как $3,62 > 2$) - $x_2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2,24}{2} \approx 1,38$ (не подходит, так как $1,38 < 2$) **Допущение:** В школьных заданиях такого типа часто предполагается целый ответ. Если в условии была опечатка и уравнение выглядело как $x - 3 = \sqrt{x - 1}$, то: $(x - 3)^2 = x - 1$ $x^2 - 6x + 9 = x - 1$ $x^2 - 7x + 10 = 0$ $(x - 2)(x - 5) = 0$ $x = 2$ (не подходит по условию $x-3 \ge 0$) или $x = 5$ (подходит). Однако, решая строго по изображению $x - 2 = \sqrt{x - 1}$, получаем иррациональный корень: $x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$