1. Чтобы решить уравнение $\sqrt{2x+5} - \sqrt{3x-5} = 2$, нужно сначала перенести один из корней в правую часть, чтобы потом возвести обе части в квадрат.
$$\sqrt{2x+5} = 2 + \sqrt{3x-5}$$
Возводим обе части в квадрат:
$$( \sqrt{2x+5} )^2 = (2 + \sqrt{3x-5})^2$$
$$2x+5 = 4 + 4\sqrt{3x-5} + (3x-5)$$
$$2x+5 = 4 + 4\sqrt{3x-5} + 3x-5$$
$$2x+5 = 3x-1 + 4\sqrt{3x-5}$$
Переносим все члены без корня в левую часть:
$$5+1 = 3x-2x + 4\sqrt{3x-5}$$
$$6 = x + 4\sqrt{3x-5}$$
Теперь изолируем корень:
$$6-x = 4\sqrt{3x-5}$$
Возводим обе части в квадрат еще раз. Важно помнить, что $6-x$ должно быть неотрицательным, то есть $6-x \ge 0 \Rightarrow x \le 6$. Также подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $2x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2.5$ и $3x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5/3 \approx 1.67$.
$$(6-x)^2 = (4\sqrt{3x-5})^2$$
$$36 - 12x + x^2 = 16(3x-5)$$
$$36 - 12x + x^2 = 48x - 80$$
Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$$x^2 - 12x - 48x + 36 + 80 = 0$$
$$x^2 - 60x + 116 = 0$$
Находим корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$$D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 116 = 3600 - 464 = 3136$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$$
Находим корни $x_1$ и $x_2$:
$$x_1 = \frac{-(-60) - 56}{2 \cdot 1} = \frac{60 - 56}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
$$x_2 = \frac{-(-60) + 56}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 56}{2} = \frac{116}{2} = 58$$
Теперь нужно проверить эти корни в исходном уравнении и с учетом условия $x \le 6$:
Проверим $x_1=2$: Условие $x \le 6$ выполняется.
$$\sqrt{2(2)+5} - \sqrt{3(2)-5} = \sqrt{4+5} - \sqrt{6-5} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$$
$2 = 2$, значит, $x_1=2$ является корнем.
Проверим $x_2=58$: Условие $x \le 6$ НЕ выполняется ($58 > 6$). Значит, $x_2=58$ не является корнем.
**Ответ: 2**
2. Чтобы решить уравнение $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+1} = 2$, перенесем один из корней в правую часть:
$$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x+1}$$
Возводим обе части в квадрат. Условия для подкоренных выражений: $3x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/3$ и $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
$$( \sqrt{3x+1} )^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$$
$$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$$
$$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x+1} + x + 1$$
$$3x+1 = x+5 + 4\sqrt{x+1}$$
Переносим все члены без корня в левую часть:
$$3x-x+1-5 = 4\sqrt{x+1}$$
$$2x-4 = 4\sqrt{x+1}$$
Делим обе части на 2:
$$x-2 = 2\sqrt{x+1}$$
Возводим обе части в квадрат еще раз. Здесь $x-2$ должно быть неотрицательным, то есть $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.
$$(x-2)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$$
$$x^2 - 4x + 4 = 4(x+1)$$
$$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$$
Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$$x^2 - 4x - 4x + 4 - 4 = 0$$
$$x^2 - 8x = 0$$
Выносим $x$ за скобки:
$$x(x-8) = 0$$
Получаем два возможных корня:
$$x_1 = 0$$
$$x_2 = 8$$
Теперь нужно проверить эти корни в исходном уравнении и с учетом условия $x \ge 2$:
Проверим $x_1=0$: Условие $x \ge 2$ НЕ выполняется ($0 < 2$). Значит, $x_1=0$ не является корнем.
Проверим $x_2=8$: Условие $x \ge 2$ выполняется.
$$\sqrt{3(8)+1} - \sqrt{8+1} = \sqrt{24+1} - \sqrt{9} = \sqrt{25} - 3 = 5 - 3 = 2$$
$2 = 2$, значит, $x_2=8$ является корнем.
**Ответ: 8**
