Решите уравнение: 1) sqrt(3x+4) + sqrt(x-4) = 2*sqrt(x); 2) sqrt(x+1) - sqrt(9-x) = sqrt(2x-12)

**1) Ответ: x = 4** **Решение:** 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} 3x + 4 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{4}{3} \\ x \ge 4 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow x \ge 4$$ 2. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$$ $$3x + 4 + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} + x - 4 = 4x$$ $$4x + 2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 4x$$ 3. Упростим уравнение: $$2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$$ $$3x^2 - 8x - 16 = 0$$ 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$$ $$x_1 = \frac{8 + 16}{6} = 4; \quad x_2 = \frac{8 - 16}{6} = -\frac{4}{3}$$ 5. Проверка по ОДЗ: корень $x = -\frac{4}{3}$ не подходит ($-\frac{4}{3} < 4$). Корень $x = 4$ подходит. --- **2) Ответ: x = 8** **Решение:** 1. Определим ОДЗ: $$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \\ 2x - 12 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases} \Rightarrow 6 \le x \le 9$$ 2. Перенесём $\sqrt{9-x}$ в правую часть для удобства: $$\sqrt{x+1} = \sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x}$$ 3. Возведём в квадрат: $$x + 1 = 2x - 12 + 2\sqrt{(2x-12)(9-x)} + 9 - x$$ $$x + 1 = x - 3 + 2\sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$$ $$4 = 2\sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$$ $$2 = \sqrt{-2x^2 + 30x - 108}$$ 4. Возведём в квадрат ещё раз: $$4 = -2x^2 + 30x - 108$$ $$2x^2 - 30x + 112 = 0$$ $$x^2 - 15x + 56 = 0$$ 5. По теореме Виета: $$x_1 = 7; \quad x_2 = 8$$ 6. Оба корня входят в ОДЗ ($6 \le x \le 9$). Проверка подстановкой в исходное уравнение: При $x = 7$: $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2} \Rightarrow 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ (Верно). При $x = 8$: $\sqrt{9} - \sqrt{1} = \sqrt{4} \Rightarrow 3 - 1 = 2$ (Верно).