На окружности радиуса 3 взята точка С. Отрезок AB — диаметр окружности, AC = 4√2. Найдите BC.

12. Радиус $R = 3$, значит диаметр $AB = 2R = 6$. Так как $AB$ — диаметр, угол $\angle ACB = 90^\circ$ (опирается на диаметр). По теореме Пифагора в $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - 32 = 4$. $BC = \sqrt{4} = 2$. **Ответ: 2**. 13. Основание пирамиды — квадрат со стороной $a=8$. Диагональ основания $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Половина диагонали $OC = 4\sqrt{2}$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, половиной диагонали и боковым ребром $L=\sqrt{41}$: $H^2 = L^2 - OC^2 = (\sqrt{41})^2 - (4\sqrt{2})^2 = 41 - 32 = 9$. $H = 3$. Объем $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 3 = 64$. **Ответ: 64**. 14. $\frac{14}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{6} = \frac{14 \cdot 3 \cdot 7}{5 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{14 \cdot 21}{60} = \frac{294}{60} = 4,9$. **Ответ: 4,9**. 15. Товар уценили на 50%, значит, он стал стоить 50% от начальной цены. $570$ рублей — это $50\%$. Начальная цена: $570 \cdot 2 = 1140$. **Ответ: 1140**. 16. $\frac{\log_{3}(4^8)}{3\log_{3} 4} = \frac{8\log_{3} 4}{3\log_{3} 4} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$. **Ответ: 2,66... (или 8/3)**. 17. $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$, $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни: $2$ и $4$. Больший корень — 4. **Ответ: 4**. 18. А) $\frac{x-5}{(x-3)^2} \le 0$. Т.к. $(x-3)^2 > 0$ при $x \ne 3$, то $x-5 \le 0 \Rightarrow x \le 5, x \ne 3$. (Вариант 2) Б) $5^{-x+1} < \frac{1}{25} \Rightarrow 5^{-x+1} < 5^{-2} \Rightarrow -x+1 < -2 \Rightarrow x > 3$. (Вариант 1) В) $(x-3)(x-5) > 0$. Корни 3 и 5. Интервалы: $(-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$. (Вариант 4) Г) $\log_{2}(x-3) < 1$. ОДЗ: $x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$. Решение: $x-3 < 2^1 \Rightarrow x < 5$. Итого: $3 < x < 5$. (Вариант 3) **Ответ: 2143**. 19. Число делится на 24, значит оно делится на 3 и на 8. Произведение цифр равно 16. Возможные наборы цифр: (1,1,2,8), (1,1,4,4), (1,2,2,4), (2,2,2,2). Проверим число из цифр 1, 1, 2, 8. Сумма $1+1+2+8=12$ (делится на 3). Чтобы делилось на 8, последние три цифры должны образовывать число, делящееся на 8. Например, 1128. $128 / 8 = 16$. Число 1128 делится на 24. **Ответ: 1128**.