Решите уравнение $(x^2 - 49)^2 + (x^2 + 6x - 7)^2 = 0$

Уравнение имеет вид суммы двух квадратов, равной нулю. Это возможно только тогда, когда оба выражения под квадратами равны нулю. 1. Приравняем первое выражение к нулю: $$(x^2 - 49)^2 = 0 \Rightarrow x^2 - 49 = 0$$ Разложим как разность квадратов: $$(x - 7)(x + 7) = 0$$ Отсюда получаем корни: $$x_1 = 7$$ $$x_2 = -7$$ 2. Приравняем второе выражение к нулю: $$(x^2 + 6x - 7)^2 = 0 \Rightarrow x^2 + 6x - 7 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$ Здесь $a = 1$, $b = 6$, $c = -7$. Тогда: $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ Корни уравнения находятся по формуле: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_3 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_4 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ 3. Для того чтобы исходное уравнение было равно нулю, оба выражения должны быть равны нулю одновременно. То есть, нужно найти общие корни для двух уравнений. Корни первого уравнения: $x = 7$ и $x = -7$. Корни второго уравнения: $x = 1$ и $x = -7$. Общий корень у этих двух уравнений только один: $x = -7$. **Ответ:** $-7$