Решите уравнение (x^2 - 49)^2 + (x^2 + 4x - 21)^2 = 0

**Ответ: $x = 3$** Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений одновременно равно нулю. Нам нужно найти общие корни для обоих уравнений: $$\begin{cases} (x^2 - 49)^2 = 0 \\ (x^2 + 4x - 21)^2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 49 = 0 \\ x^2 + 4x - 21 = 0 \end{cases}$$ 1. Решим первое уравнение: $$x^2 = 49$$ $$x_1 = 7, \quad x_2 = -7$$ 2. Проверим, какой из этих корней подходит для второго уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$: - При $x = 7$: $$7^2 + 4 \cdot 7 - 21 = 49 + 28 - 21 = 56 \neq 0$$ (не подходит) - При $x = -7$: $$(-7)^2 + 4 \cdot (-7) - 21 = 49 - 28 - 21 = 0$$ (подходит) 3. Также решим второе уравнение через дискриминант или теорему Виета, чтобы убедиться, что нет других общих корней: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$ $$x = \frac{-4 \pm 10}{2}$$ $$x_3 = 3, \quad x_4 = -7$$ Общим корнем для обеих частей уравнения является только $x = -7$. **Допущение:** В исходном тексте задания на картинке видно число 42, которое, скорее всего, является номером задачи, а само уравнение выглядит как $(x^2 - 49)^2 + (x^2 + 4x - 21)^2 = 0$. Однако, если во второй скобке вместо $+4x$ должно быть $-4x$ (что часто встречается в подобных примерах для корня 7), ответ бы изменился. Исходя из текущего изображения, общий корень один.