В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 13$, $\text{tg } A = 5$. Найдите $BH$.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $$\text{tg } A = \frac{BC}{AC} = 5$$ (по определению тангенса) Значит, $BC = 5 \cdot AC$. Пусть $AC = x$, тогда $BC = 5x$. 2. По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$x^2 + (5x)^2 = 13^2$$ $$x^2 + 25x^2 = 169$$ $$26x^2 = 169$$ $$x^2 = \frac{169}{26} = \frac{13}{2}$$ (разделили 169 на 13 и 26 на 13) $$x = AC = \sqrt{\frac{13}{2}}$$ $$BC = 5x = 5 \sqrt{\frac{13}{2}}$$ 3. В прямоугольном треугольнике $CBH$ ($\angle H = 90^\circ$): По определению синуса угла $B$: $$\sin B = \frac{CH}{BC}$$ По определению косинуса угла $B$: $$\cos B = \frac{BH}{BC}$$ 4. Найдем $\sin A$ и $\cos A$ из $\text{tg } A = 5$: Используем формулу $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$: $$1 + 5^2 = \frac{1}{\cos^2 A}$$ $$1 + 25 = \frac{1}{\cos^2 A}$$ $$26 = \frac{1}{\cos^2 A}$$ $$\cos^2 A = \frac{1}{26}$$ $$\cos A = \frac{1}{\sqrt{26}}$$ (так как $A$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, $\cos A > 0$) Теперь найдем $\sin A$: $$\sin A = \text{tg } A \cdot \cos A = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$$ 5. В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($\angle H = 90^\circ$): $$CH = AC \cdot \sin A = \sqrt{\frac{13}{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \sqrt{\frac{13}{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{2 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{13}{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{5}{2}$$ 6. В прямоугольном треугольнике $CBH$ ($\angle H = 90^\circ$): Мы знаем, что $\angle B = 90^\circ - \angle A$. Следовательно, $\sin B = \sin(90^\circ - A) = \cos A$. $$\cos A = \frac{1}{\sqrt{26}}$$ Тогда $\sin B = \frac{1}{\sqrt{26}}$. В $\triangle CBH$: $$BH = BC \cdot \cos B$$ (это неправильно, $\angle B$ общий для $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$, и $BH = BC \cdot \cos B$) $$\cos B = \sin A = \frac{5}{\sqrt{26}}$$ $$BC = 5\sqrt{\frac{13}{2}}$$ $$BH = BC \cdot \cos B = 5\sqrt{\frac{13}{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = 5 \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{2 \cdot 13}} = 5 \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = 5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$$ **Ответ:** $BH = 12.5$