В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, tg A = 1/5. Найдите AH.

**Ответ: 12,5** Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($"\angle C = 90^\circ"$). По определению тангенса: $"tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{5}"$. Пусть $"BC = x"$, тогда $"AC = 5x"$. 2. По теореме Пифагора для $"\triangle ABC"$: $"AC^2 + BC^2 = AB^2"$ $"(5x)^2 + x^2 = 13^2"$ $"25x^2 + x^2 = 169"$ $"26x^2 = 169"$ $"x^2 = \frac{169}{26} = \frac{13}{2} = 6,5"$. 3. Найдём $"AC^2"$: $"AC^2 = (5x)^2 = 25x^2 = 25 \cdot 6,5 = 162,5"$. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ ($"\angle H = 90^\circ"$), где $CH$ — высота. По определению косинуса: $"\cos A = \frac{AH}{AC}"$, откуда $"AH = AC \cdot \cos A"$. Также из основного тригонометрического тождества $"1 + tg^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}"$: $"\cos^2 A = \frac{1}{1 + tg^2 A} = \frac{1}{1 + (1/5)^2} = \frac{1}{1 + 1/25} = \frac{1}{26/25} = \frac{25}{26}"$. 5. Выразим $AH$ через известные квадраты: $"AH^2 = AC^2 \cdot \cos^2 A"$ $"AH^2 = 162,5 \cdot \frac{25}{26} = \frac{325}{2} \cdot \frac{25}{26} = \frac{25 \cdot 13 \cdot 25}{2 \cdot 2 \cdot 13} = \frac{625}{4} = 156,25"$ $"AH = \sqrt{156,25} = 12,5"$.