Найдите $AH$, если в треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BH = 12$, $\text{tg } A = \frac{2}{3}$.

Дано: в треугольнике $ABC$ угол $C = 90^\circ$, $CH$ — высота, $BH = 12$, $\text{tg } A = \frac{2}{3}$. Нужно найти $AH$. Так как $CH$ — высота, то треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом $H$. Также треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $$\text{tg } A = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}$$ В прямоугольном треугольнике $AHC$: $$\text{tg } A = \frac{CH}{AH} = \frac{2}{3}$$ Из подобия прямоугольных треугольников $AHC$ и $CHB$ (они подобны по острому углу $\angle A = \angle HCB$ или $\angle B = \angle ACH$). Из подобия треугольников $AHC$ и $CHB$ следует отношение сторон: $$\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}$$ Отсюда $$CH^2 = AH \cdot BH$$ Из $\text{tg } A = \frac{CH}{AH} = \frac{2}{3}$ выразим $CH$: $$CH = \frac{2}{3} AH$$ Подставим это в уравнение $CH^2 = AH \cdot BH$: $$\left(\frac{2}{3} AH\right)^2 = AH \cdot BH$$ $$\frac{4}{9} AH^2 = AH \cdot BH$$ Так как $AH \ne 0$, можно разделить обе части на $AH$: $$\frac{4}{9} AH = BH$$ Мы знаем, что $BH = 12$, подставим это значение: $$\frac{4}{9} AH = 12$$ $$AH = \frac{12 \cdot 9}{4}$$ $$AH = 3 \cdot 9$$ $$AH = 27$$ **Ответ:** 27