В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, AB = 13, tgA = 1/5. Найти высоту CH.

Дано: В треугольнике $ABC$ угол $C = 90^ ext{o}$. $AB = 13$. $\text{tg}A = \frac{1}{5}$. Найти высоту $CH$. 1. Из прямоугольного треугольника $ABC$ выразим $\text{sin}A$ и $\text{cos}A$ через $\text{tg}A$. Известно, что $\text{tg}A = \frac{\text{sin}A}{\text{cos}A}$, и основное тригонометрическое тождество $\text{sin}^2A + \text{cos}^2A = 1$. Разделим обе части основного тождества на $\text{cos}^2A$ (при условии, что $\text{cos}A \neq 0$, что верно для острого угла в прямоугольном треугольнике): $$\frac{\text{sin}^2A}{\text{cos}^2A} + \frac{\text{cos}^2A}{\text{cos}^2A} = \frac{1}{\text{cos}^2A}$$ $$\text{tg}^2A + 1 = \frac{1}{\text{cos}^2A}$$ Значит, $\text{cos}^2A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2A}$. Подставляем значение $\text{tg}A = \frac{1}{5}$: $$\text{cos}^2A = \frac{1}{1 + (\frac{1}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{1}{\frac{25+1}{25}} = \frac{1}{\frac{26}{25}} = \frac{25}{26}$$ Тогда $\text{cos}A = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$ (так как $A$ — острый угол, $\text{cos}A > 0$). Теперь найдём $\text{sin}A$: $$\text{sin}A = \text{tg}A \cdot \text{cos}A = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}$$ 2. В прямоугольном треугольнике $ABC$: Катет $BC$ можно найти через гипотенузу $AB$ и $\text{sin}A$: $$BC = AB \cdot \text{sin}A = 13 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{13}{\sqrt{26}}$$ 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $H = 90^ ext{o}$). Высота $CH$ является катетом в этом треугольнике. В прямоугольном треугольнике $BHC$ угол $B$ равен $90^ ext{o} - A$. $$\text{sin}B = \text{sin}(90^ ext{o} - A) = \text{cos}A$$ Значит, $\text{sin}B = \frac{5}{\sqrt{26}}$. Высоту $CH$ можно найти как: $$CH = BC \cdot \text{sin}B$$ $$CH = \frac{13}{\sqrt{26}} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{13 \cdot 5}{26} = \frac{65}{26}$$ $$CH = \frac{5}{2} = 2.5$$ **Ответ:** $2.5$