В треугольнике ABC с ∠C = 90° гипотенуза AB = 52 и tg A = 2/3. Найдите длину высоты CH этого треугольника.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC с ∠C = 90° гипотенуза AB = 52 и tg A = 2/3. Найдите длину высоты CH этого треугольника.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Из основного тригонометрического тождества $\text{tg}^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A}$ найдём $\cos A$: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 1 = \frac{4}{9} + 1 = \frac{13}{9} = \frac{1}{\cos^2 A} \Rightarrow \cos^2 A = \frac{9}{13} \Rightarrow \cos A = \frac{3}{\sqrt{13}}$ 2. В прямоугольном $\triangle ABC$ катет $AC = AB \cdot \cos A = 52 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{156}{\sqrt{13}}$. 3. В прямоугольном $\triangle ACH$ высота $CH = AC \cdot \sin A$. Найдём $\sin A$ через тангенс и косинус: $\sin A = \text{tg} A \cdot \cos A = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$. 4. Тогда $CH = \frac{156}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{156 \cdot 2}{13} = \frac{312}{13} = 24$. **Ответ: 24**.

В треугольнике ABC с ∠C = 90° гипотенуза AB = 52 и tg A = 2/3. Найдите длину высоты CH этого треугольника.

Ответ ассистента

Другие решения