Решите уравнение $\cos^2\left(-x - \frac{3\pi}{2}\right) - \sin(x - \pi) = 0$.

а) Решим уравнение $\cos^2\left(-x - \frac{3\pi}{2}\right) - \sin(x - \pi) = 0$. Сначала упростим выражения внутри тригонометрических функций, используя свойства четности и периодичности, а также формулы приведения. Для первого члена: $\cos\left(-x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(x + \frac{3\pi}{2}\right)\right) = \cos\left(x + \frac{3\pi}{2}\right)$. Используем формулу приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha)$. Тогда $\cos\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin(x)$. Следовательно, $\cos^2\left(-x - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin^2(x)$. Для второго члена: $\sin(x - \pi) = -\sin(\pi - x)$. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Тогда $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение: $$\sin^2(x) - (-\sin(x)) = 0$$ $$\sin^2(x) + \sin(x) = 0$$ Вынесем $\sin(x)$ за скобки: $$\sin(x)(\sin(x) + 1) = 0$$ Это уравнение равносильно двум уравнениям: 1) $\sin(x) = 0$ $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin(x) + 1 = 0$ $\sin(x) = -1$ $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$** б) Укажем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$. Рассмотрим первую серию корней: $x = \pi n$. $-4\pi \le \pi n \le -\frac{5\pi}{2}$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $-4 \le n \le -\frac{5}{2}$ $-4 \le n \le -2.5$ Целые значения $n$ в этом промежутке: $n = -4, -3$. Соответствующие корни: При $n = -4$: $x = -4\pi$ При $n = -3$: $x = -3\pi$ Рассмотрим вторую серию корней: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. $-4\pi \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le -\frac{5\pi}{2}$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $-4 \le -\frac{1}{2} + 2k \le -\frac{5}{2}$ Прибавим $\frac{1}{2}$ ко всем частям неравенства: $-4 + \frac{1}{2} \le 2k \le -\frac{5}{2} + \frac{1}{2}$ $-\frac{7}{2} \le 2k \le -\frac{4}{2}$ $-3.5 \le 2k \le -2$ Разделим все части неравенства на 2: $-\frac{3.5}{2} \le k \le -\frac{2}{2}$ $-1.75 \le k \le -1$ Целое значение $k$ в этом промежутке: $k = -1$. Соответствующий корень: При $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(-1) = -\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$ Таким образом, корни, принадлежащие заданному отрезку, это $-4\pi$, $-3\pi$, $-\frac{5\pi}{2}$. **Ответ: $-4\pi$, $-3\pi$, $-\frac{5\pi}{2}$**