Решите уравнение 2cos²x - sin(x - π) - 1 = 0. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

**Ответ:** а) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. б) $-\frac{7\pi}{2}$; $-\frac{11\pi}{6}$. **Решение:** а) Решим уравнение $2\cos^2 x - \sin(x - \pi) - 1 = 0$. 1. Используем свойство нечётности синуса: $\sin(x - \pi) = -\sin(\pi - x)$. 2. По формуле приведения: $\sin(\pi - x) = \sin x$. Значит, $-\sin(\pi - x) = -\sin x$. 3. Уравнение принимает вид: $2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0$. 4. Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $$2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0$$ $$2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$$ $$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$ 5. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - t - 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$. $$t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0,5.$$ 6. Обратная замена: - $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (ошибка в знаке в ответе выше, исправлено здесь: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$). - $\sin x = -0,5 \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. *(Примечание: Запись через $(-1)^k$ также верна, но для отбора корней удобнее раздельные серии)*. б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$: - Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: при $n = -2$, $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -3,5\pi = -\frac{7\pi}{2}$ (входит). - Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -1$, $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -2,16\pi$ (входит). - Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -1$, $x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -2,83\pi$ (не входит).