Реши уравнение cos2x \cdot sin4x-cos4x \cdot sin(5π/6) = cos(2x - π/2) и найди корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

a) Решим уравнение $\cos(2x)\sin(4x) - \cos(4x)\sin(\frac{5\pi}{6}) = \cos(2x - \frac{\pi}{2})$. Учитывая, что $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \cos(-( \frac{\pi}{2} - 2x)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin(2x)$, уравнение можно переписать как: $$\cos(2x)\sin(4x) - \frac{1}{2}\cos(4x) = \sin(2x)$$ Используем формулу $\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)$: $$\cos(2x) \cdot 2\sin(2x)\cos(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x) = \sin(2x)$$ $$2\sin(2x)\cos^2(2x) - \sin(2x) = \frac{1}{2}\cos(4x)$$ $$\sin(2x)(2\cos^2(2x) - 1) = \frac{1}{2}\cos(4x)$$ Используем формулу $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$: $$\sin(2x)\cos(4x) = \frac{1}{2}\cos(4x)$$ $$\sin(2x)\cos(4x) - \frac{1}{2}\cos(4x) = 0$$ $$\cos(4x)(\sin(2x) - \frac{1}{2}) = 0$$ Значит, либо $\cos(4x) = 0$, либо $\sin(2x) = \frac{1}{2}$. 1. $\cos(4x) = 0$ $4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$ 2. $\sin(2x) = \frac{1}{2}$ $2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$ или $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-3\pi; -2\pi]$. 1. $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ $-3\pi \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \le -2\pi$ $-3 \le \frac{1}{8} + \frac{n}{4} \le -2$ $-3 - \frac{1}{8} \le \frac{n}{4} \le -2 - \frac{1}{8}$ $-\frac{25}{8} \le \frac{n}{4} \le -\frac{17}{8}$ $-\frac{25}{2} \le n \le -\frac{17}{2}$ $-12.5 \le n \le -8.5$ $n = -12, -11, -10, -9$ $x = \frac{\pi}{8} - \frac{12\pi}{4} = \frac{\pi - 24\pi}{8} = -\frac{23\pi}{8}$ $x = \frac{\pi}{8} - \frac{11\pi}{4} = \frac{\pi - 22\pi}{8} = -\frac{21\pi}{8}$ $x = \frac{\pi}{8} - \frac{10\pi}{4} = \frac{\pi - 20\pi}{8} = -\frac{19\pi}{8}$ $x = \frac{\pi}{8} - \frac{9\pi}{4} = \frac{\pi - 18\pi}{8} = -\frac{17\pi}{8}$ 2. $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$ $-3\pi \le \frac{\pi}{12} + \pi k \le -2\pi$ $-3 \le \frac{1}{12} + k \le -2$ $-3 - \frac{1}{12} \le k \le -2 - \frac{1}{12}$ $-\frac{37}{12} \le k \le -\frac{25}{12}$ $-3.08 \le k \le -2.08$ $k = -3$ $x = \frac{\pi}{12} - 3\pi = \frac{\pi - 36\pi}{12} = -\frac{35\pi}{12}$ 3. $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$ $-3\pi \le \frac{5\pi}{12} + \pi k \le -2\pi$ $-3 \le \frac{5}{12} + k \le -2$ $-3 - \frac{5}{12} \le k \le -2 - \frac{5}{12}$ $-\frac{41}{12} \le k \le -\frac{29}{12}$ $-3.41 \le k \le -2.41$ $k = -3$ $x = \frac{5\pi}{12} - 3\pi = \frac{5\pi - 36\pi}{12} = -\frac{31\pi}{12}$ **Ответ:** a) $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$, $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$ б) $x = -\frac{23\pi}{8}, -\frac{21\pi}{8}, -\frac{19\pi}{8}, -\frac{17\pi}{8}, -\frac{35\pi}{12}, -\frac{31\pi}{12}$