а) Решите уравнение 2cos(x + π/3) + √3 sin x = 2sin(x - π/3) + √3 cos x.

### а) Решение уравнения Раскроем скобки, используя формулы косинуса суммы и синуса разности: $2(\cos x \cos \frac{\pi}{3} - \sin x \sin \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \sin x = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \cos x$ Подставим значения $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $2(\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) + \sqrt{3} \sin x = 2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) + \sqrt{3} \cos x$ Раскроем скобки: $\cos x - \sqrt{3} \sin x + \sqrt{3} \sin x = \sin x - \sqrt{3} \cos x + \sqrt{3} \cos x$ Упростим выражение: $\cos x = \sin x$ Разделим обе части на $\cos x$ (так как $\cos x \neq 0$): $\tan x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$ Решим неравенство: $-\frac{7\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le -\frac{5\pi}{2}$ Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей: $-\frac{14\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \le \pi k \le -\frac{10\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ $-\frac{15\pi}{4} \le \pi k \le -\frac{11\pi}{4}$ Разделим на $\pi$: $-3,75 \le k \le -2,75$ Так как $k$ — целое число, то $k = -3$. Найдем корень при $k = -3$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi(-3) = \frac{\pi}{4} - \frac{12\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$ **Ответ:** а) $\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi}{4}$.