а) Решите уравнение √3 sin(x - π) - cos 2x + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

а) $\sqrt{3} \sin(x - \pi) - \cos 2x + 1 = 0$ Используем формулу приведения $\sin(x - \pi) = -\sin(\pi - x) = -\sin x$ и формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $-\sqrt{3} \sin x - (1 - 2\sin^2 x) + 1 = 0$ $2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x = 0$ $\sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$ 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2\sin x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Отбор корней на отрезке $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$: 1. Для $x = \pi k$: при $k=3: x = 3\pi$ (входит); при $k=4: x = 4\pi$ (входит). 2. Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=1: x = \frac{7\pi}{3} < \frac{5\pi}{2}$ (не входит); при $n=2: x = \frac{13\pi}{3} > 4\pi$ (не входит). 3. Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=1: x = \frac{8\pi}{3}$ (входит, так как $\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi$ и $\frac{8\pi}{3} \approx 2.66\pi$). Ответ: а) $\pi k; (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{8\pi}{3}; 3\pi; 4\pi$.