В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, cos A = (2√5)/5. Найдите AC.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$. Это значит, что треугольник прямоугольный. Нам даны сторона $BC = 3$ и $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Нужно найти сторону $AC$. Косинус угла $A$ в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. То есть $\cos A = \frac{AC}{AB}$. Можно найти $\sin A$ с помощью основного тригонометрического тождества: $$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 $$ $$ \sin^2 A + \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 $$ $$ \sin^2 A + \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 $$ $$ \sin^2 A + \frac{20}{25} = 1 $$ $$ \sin^2 A + \frac{4}{5} = 1 $$ $$ \sin^2 A = 1 - \frac{4}{5} $$ $$ \sin^2 A = \frac{1}{5} $$ $$ \sin A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$ Теперь, зная $\sin A$ и катет $BC$, который противолежит углу $A$, мы можем использовать определение синуса: $$ \sin A = \frac{BC}{AB} $$ $$ \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{3}{AB} $$ Отсюда найдем $AB$: $$ AB = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5} $$ Теперь, зная $AB$ и $\cos A$, мы можем найти $AC$: $$ \cos A = \frac{AC}{AB} $$ $$ \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{AC}{3\sqrt{5}} $$ $$ AC = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot 3\sqrt{5} $$ $$ AC = \frac{2 \cdot 3 \cdot (\sqrt{5})^2}{5} $$ $$ AC = \frac{6 \cdot 5}{5} $$ $$ AC = 6 $$ **Ответ:** $6$