В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 3$, $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Найдите $AC$.

Нам дан прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $C = 90^\circ$. Известно, что $BC = 3$ и $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Нужно найти сторону $AC$. В прямоугольном треугольнике косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. То есть, для угла $A$: $$\cos A = \frac{AC}{AB}$$ Также мы знаем, что $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Значит: $$\frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ Из основного тригонометрического тождества мы знаем: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ Найдём $\sin A$: $$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$$ $$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2$$ $$\sin^2 A = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25}$$ $$\sin^2 A = 1 - \frac{20}{25}$$ $$\sin^2 A = 1 - \frac{4}{5}$$ $$\sin^2 A = \frac{1}{5}$$ $$\sin A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Синус угла $A$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $$\sin A = \frac{BC}{AB}$$ Мы знаем $BC = 3$ и $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Подставляем: $$\frac{3}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Найдём гипотенузу $AB$: $$AB = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$$ Теперь, зная $AB$ и $\cos A$, найдём $AC$: $$AC = AB \cdot \cos A$$ $$AC = 3\sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ $$AC = \frac{3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{5}$$ $$AC = \frac{6 \cdot 5}{5}$$ $$AC = 6$$ **Ответ: 6**