В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, cos A = (2√5)/5. Найдите AC.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°. Косинус угла A — это отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB. $$\cos A = \frac{AC}{AB}$$ Также, для прямоугольного треугольника можно использовать теорему Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Мы знаем $BC = 3$ и $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Из определения косинуса: $AC = AB \cdot \cos A$. Подставим это в теорему Пифагора: $$AB^2 = (AB \cdot \cos A)^2 + BC^2$$ $$AB^2 = AB^2 \cdot \cos^2 A + BC^2$$ $$AB^2 - AB^2 \cdot \cos^2 A = BC^2$$ $$AB^2 (1 - \cos^2 A) = BC^2$$ Мы знаем, что $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$. Значит: $$AB^2 \cdot \sin^2 A = BC^2$$ Отсюда: $$AB \cdot \sin A = BC$$ $$AB = \frac{BC}{\sin A}$$ Найдем $\sin A$, зная $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$: $$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$ $$\sin A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Теперь найдем AB: $$AB = \frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$$ И, наконец, найдем AC: $$AC = AB \cdot \cos A = 3\sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{5})^2}{5} = \frac{6 \cdot 5}{5} = 6$$ **Ответ: 6**